広辞苑第五版の極限の項

②[数]ある変化する(数列・関数などの)量が、
一定の規則のもとに、ある確定した量に限りなく近づくとき、
極限があるといい、後者を前者の極限値という。

これは「限りなく近づく」があいまいなので数学的な定義とは言えない、のかな？わかりません。

いずれにしろ、この…表記は、小数点以下1桁目は1に決まっている、2桁目は7に決まっている、「以降同様に続く」
という意味であって、以降は変化する、や以降は未定、という意味ではないとすると、

0.17458910427754693…は、どの桁も1通りに決まった、「ただの数」であって、「ただの数」には極限は定義されていません。
0.999…は、どの桁も1通りに決まった、「ただの数」であって、「ただの数」には極限は定義されていません。