簡単な証明１
0.999…は小数点以下に9が続くだけだから1にはならない。

簡単な証明２
整数や小数は、数字が違うなら、違う数である。
1と0.999…は対応する位の数字がすべて違うから、違う数である。

簡単な証明３
1÷3は永遠に割り切れない。 ゆえに1/3≠0.333… 。ゆえに0.999…≠1

簡単な証明４
0.999…＝0.9＋0.09＋0.009＋…＝9/10＋9/100＋9/1000＋…
この無限級数は1に近づくが1にはならない。ゆえに0.999…≠1

もっと深いことが知りたい人は
「相対性理論はペテンである／無限小数は数ではない」参照