級数 e＝Σ_{k=0,1,…,+∞}(1/k!) の部分和 a_n＝Σ_{k=0,1,…,n}(1/k!) nは正整数 に対して、
実数 2^{a_n} は有理数か唯1つの√を用いて表される形の代数的無理数である。
任意の正整数nに対して、実数 2^{a_n} の有理係数の最小多項式 f_n は構成出来て、
n→+∞ のとき deg(f_n)→+∞ である。n→+∞ のとき 2^{a_n}→2^e だから、
代数的数の定義から 2^e は代数的数にはなり得ない(2^e を代数的数とすると、
2^e の有理係数の最小多項式及びその次数 deg(2^e)＜+∞ が存在する)。
よって、2^e は超越数である。