【定理】】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+1とおいてx^2+y^2=(x+1)^2…(1)とする。
x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(2)とする。
(1)(2)の解の比は、同じとなるので、(1)のみを検討すれば良い。
(1)をx=b/aとおく。(a,bは整数)
(1)を(y^2-1)/2={b}/a…(3)と変形する。
(3)のyを有理数とすると、2=aなので、xは有理数となる。
∴n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。