(修正20)
【定理】】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+1とおいてx^n+y^n=(x+1)^n…(1)とする。
x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(2)とする。
(1)(2)の解の比は、同じとなるので、(1)のみを検討すれば良い。
(1)をx=b/aとおく。(a,bは整数)
(1)を(y^n-1)/n={b^(n-1)+…+a^(n-2)・b}/a^(n-1)…(3)と変形する。
(3)のyを有理数とすると、n≠a^(n-1)なので、xは有理数とならない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。