(修正23)
【定理】】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+1とおいてx^n+y^n=(x+1)^n…(1)とする。
x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(2)とする。
(1)(2)の解の比は、同じとなるので、(1)のみを検討すれば良い。
(1)をx=b/aとおいて、(y^n-1)/n={b^(n-1)+…+a^(n-2)・b}/a^(n-1)…(3)と変形する。
(3)の分母がn=a^(n-1)のとき、分子はa=n^{1/(n-1)}となる。
(3)はyを有理数とすると、bが無理数となるので、xは無理数となる。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。