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では、rが無理数だというだけでは自然数比をなす無理数解がないとは言えないんですね？
後者の場合にそれが言える理由を説明してください。

x^3+7y^3=(x+√3)^3の場合には、rが無理数でも整数比の解があります。

x^3+y^3=(x+√3)^3の場合には、rが無理数でも、整数比の解がありません。
x,yが無理数の場合で、x,y,zが整数比となるときは、s^3+t^3=u^3と同じとなります。
zが有理数でも、(4)の解は、整数比とならないので、x^3+y^3=(x+√3)^3は、
rが無理数でも、整数比の解を持ちません。