>>460 追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%9B%86%E5%90%88
稠密集合

数学の位相空間論周辺分野において、位相空間 X の部分集合 A が X において稠密（ちゅうみつ、英: dense）であるとは、X の各点 x が、A の元であるか、さもなくば A の集積点であるときにいう[1]。イメージで言えば、X の各点が A の中か、さもなくば A の元の「どれほどでも近く」にあるということを表している。例えば、有理数は実数の稠密集合である。なぜなら任意の実数は、有理数であるか、さもなくばどれほどでも近い有理数をとることができるからである（ディオファントス近似も参照）。

目次
1 厳密な定義
2 距離空間における稠密性
3 例
4 性質
5 関連概念

関連概念
位相空間 X の部分集合 A の点 x が、X における A の極限点（limit point）であるとは、x の任意の近傍が x 以外に少なくとも一つ A の元を含むときにいう[3]。さもなくば、x を A の孤立点（isolated point）という[4]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
有理数
基本性質
Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。すなわち、二つの有理数の間には（それがいくら近い値だとしても）少なくとも一つ（従って無数の）有理数が存在する。実は逆に、全順序な稠密順序集合がさらに最大元も最小元も持たないならば、必ず Q と順序同型である。

位相的性質
有理数の全体 Q は内在的には、通常の大小関係の定める順序に関して順序位相と呼ばれる位相を持ち、外因的には実数直線 R の（つまり、一次元ユークリッド空間 R1としての）距離位相から定まる部分空間としての位相を持つが、実はこれらの位相は一致する。

有理数の全体 Q は実数全体の成す集合 R の中で稠密である。これは、どのような実数に対しても、そのいくらでも近くに有理数が存在するということを意味する。

つづく