>>842 補足
(引用開始)
なお実際、例えば区間(a,b)を、p等分することができる（ここにｐは2以上の任意の自然数）
　Δ＝(b-a)/pとして
a<a+Δ<a+2Δ<・・<a+(p-1)Δ<b とできて、区間(a,b)内にp-1個の有理数を作ることができる
pは、任意に大きく取ることができる
区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、不等号＜を使って整列させることができる（by 選択公理（可算選択公理））
よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる
(引用終り)

＜ガロアすれ流の有理数Qの稠密性定理＞
定理：上記の区間(a,b)をp等分してできる集合を、Ap＝{a+Δ,a+2Δ,・・,a+(p-1)Δ}とする
A：＝∪Ap 但し、p∈N(0と1を除く(2等分以上を考える))
とすると
集合Aは、区間(a,b)に含まれる有理数を表す
区間(a,b)は任意であり、
この区間にAなる無限の有理数の集合を含む（有理数Qの稠密性）
(証明)
1．区間(a,b)は、平行移動できるので、計算の簡単のためにaを原点に移して、区間(0,e)で考える
　e＝b-aである
2．区間(0,e)に含まれる有理数をA’と書く
　A’＝Aである。簡単に、A’⊃Aであることが分かるから、A’⊂Aを示せば良い
3．区間(0,e)に含まれる任意の有理数c∈A’を考える
　c＝c1/c2と表す。また、e＝e1/e2と表す
4．そこで、p=c2・e1 ととれば、c∈Apとなることを示す
　区間(0,e1/e2)をp(＝c2・e1) 等分するので、
　区間の長さの分割単位Δ＝(e1/e2)/p＝1/(c2・e2)となる
　とすると、c＝c1/c2は、c：＝c1・e2Δと表すことができる
　即ち、c1・e2Δ＝c1・e2(1/(c2・e2))＝c1/c2＝c を導くことが出来る
5．よって、区間(0,e)に含まれる任意の有理数c∈A示せたので
　A’⊂Aであり、A’⊃Aであった(上記2項)から、A’＝A成立！
QED

この程度のことは、昔だれかがやっているだろうが、
「有理数Qの稠密性」を示す定理として、分かり易いと思う
区間(a,b)は、任意に取れるので、区間(a,b)内にさらに小さく区間(a',b')を取っても
逆に、区間(a,b)を含むように大きく区間(a'',b'')を取っても、同じことが証明できる
即ち、「有理数Qの稠密性」の”入れ子構造”を示す定理である（＾＾
以上