>>888
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
二項関係が整礎（well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。（関係 R がさらに集合的であることを仮定する著者もいる[2]。X が集合であればこれは自動的に成り立つ。）つまり、S の元 m であって、S の任意の元 s に対して対 (s, m) は R に属さないようなものが存在する。式で書けば
∀ S⊆ X(S≠Φ → ∃m∈ S ∀s∈S(s,m)not∈ R).
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。

順序集合論（英語版）では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。
集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。
整礎でない関係の例
・負整数全体 {?1, ?2, ?3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。
・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。

（上記「∀ S⊆ X(S≠Φ → ∃m∈ S ∀s∈S(s,m)not∈ R)」関連は英文で分かり易く加筆されているね ）
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S.

つづく