>>945 補足
>N＝{0,1,2,・・・}

ヒルベルト空間、無限次元ベクトル空間
「複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) 」（下記）
あれれ？ 無限数列 z = (z1, z2, …) だとよｗ
おれら常識だけどな（量子力学やるから）、まあ おサルには分からんかな（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。
ヒルベルト空間論の多くの場面で、幾何学的直観は重要である。例えば、三平方の定理や中線定理（の厳密な類似対応物）は、ヒルベルト空間においても成り立つ。

もう少し自明でない例
複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) で級数
Σ _n=1〜∞ |z_n|^2
が収束するようなもの（自乗総和可能な無限複素数列）全体の成す数列空間を L2 で表す。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6
関数解析学（かんすうかいせきがく、英: functional analysis、仏: Analyse fonctionnelle、函数解析学とも書かれる。別名は位相解析学。）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している[1][2][3][4]。
無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い[1][2][3]。
応用
関数解析の中でも特にヒルベルト空間論は量子力学の数学的基礎である[5][6]。

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri1001.pdf
特集／無限次元 河東泰之 東京大学大学院数理科学研究科 数理科学 NO. 559, JANUARY 2010
n 次元ベクトル空間の一番簡単な例は，数をn
個並べたベクトルたちを考えたものである．そう
思うと，n = 3 でもn = 1, 000, 000 でも理論的に
はたいした違いはない．
数学的な立場からみたとき，無限次元のベクト
ル空間が出てくる自然な状況は関数を考えるとき
である．

つづく