(修正7)
【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
(1)はrを任意の有理数としても、x,yの比は同じとなる。
(1)をr=1とおいて、x^n+y^n=(x+1)^n…(2)とする。
(2)はy=2とすると、xは無理数となる。yを任意の有理数としても、xは無理数となる。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。