【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】n=2の場合を考えると、
3^2=5^2-4^2…(A)
5^2=13^2-12^2…(B)
15^2=17^2-8^2…(C)
A,Bが成立するので、C=A*Bも成立する。

n≧3の場合も同様となる。
Cが任意の自然数の場合は、A,Bは有理数となる必要がある。
3^n=z^n-y^n…(A)は、z,yが整数のとき、成立しない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。