(別解5)
【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となるので、rがどんな数でも、x,yの比は変わらない。
(4)をx^n+y^n=(x+1)^n…(5)とする。(5)を、y^n=(x+1)^n-x^n=(2^n)*(y/2)^n…(C)とする。
(2^n)=(s+1)^n-s^n…(A)
(y/2)^n=(t+1)^n-t^n…(B)
(C)=(A)*(B)となるが、(A)のsが無理数となるので、(C)はyが整数のとき、xは無理数となる。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。