(別解7)
【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。(yは整数）
(1)のrがどんな数でも、x,yの比は変わらないので、x^n+y^n=(x+1)^n…(2)とする。
(2)をy^n=ax^(n-1)+bx^(n-2)+…+1=(2^n)(y/2)^n…(3)とする。(a,bは整数)
(3)を(2^n)={ax^(n-1)+bx^(n-2)+…+1}/(y/2)^n…(4)とする。
(4)はxを有理数(小数)とすると、右辺に小数点以下が生じる。よって、xは無理数となる。
(2)はyが整数のとき、xは無理数となる。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。