(別解10)
【定理】ｐが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)のrがどんな数でも、x,yの比は変わらないので、x^p+y^p=(x+1)^p…(2)とする。
(2)をy=3とおく。(3^p-1)=p{x^(p-1)+ax^(p-2)+…+x}…(3)と変形する。(aは整数）
(3)のxを少数とすると、左辺は整数、右辺は少数となり、成立しないので、xは無理数となる。
(2)のyを任意の奇数として、(y^p-1)=p{x^(p-1)+ax^(p-2)+…+x}…(4)とする。
(4)のxは、(3)のxの無理数倍となる。
∴ｐが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。