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つづき

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実数の連続性
実数の連続性(continuity of real numbers)とは、実数の集合がもつ性質である。 実数の連続性は、実数の完備性(completeness of the real numbers)とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。
また、実数の連続性における連続性とは関数の連続性とは別の概念である。
目次
1 実数の連続性と同値な命題
2 デデキントの公理
3 上限性質
4 有界単調数列の収束定理

実数の連続性と同値な命題
実数の連続性と同値な命題は多数存在する。順序体において、実数の公理は
1.デデキントの公理
2.上限性質を持つ
3.有界単調数列の収束定理
4.アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす
5.ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
6.次の２条件を満たす
・アルキメデス性を持つ
・コーシー列は収束する
7.中間値の定理
8.最大値の定理
9.ロルの定理
10.ラグランジュの平均値の定理
11.コーシーの平均値の定理
12.ハイネ・ボレルの定理
と同値である。
赤摂也『実数論講義』 には、これらの命題を含めて22個の同値な命題とその証明が記されている。

デデキントの公理
詳細は「デデキント切断」を参照
(A,B)を実数の集合Rの切断とすれば、Aに最大元があってBに最小元がないか、Bに最小元があってAに最大元がないかのいずれかである。
リヒャルト・デーデキントが提示した。

つづく