>>128 補足
”選択公理⇔整列可能定理”について

（下記が分かり易いね）
http://paiotunoowari.hatenadiary.jp/entry/2015/12/03/133610
整列可能定理 2015-12-03 ぱいおつ日記
ひかるさんのアドベントカレンダー企画の3日目の記事です.
(抜粋)
Nは普通の大小関係で整列集合になってます.
Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<?1<1<?2<2<...<?n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.
こんなふうに,ある順序で整列集合でないような集合でも別の順序では整列集合になっていたりします.
有名ですが,じつは,どんな集合にも整列順序が入れられるというのは選択公理と同値です.

選択公理
任意の集合族{Xα|α∈A}に対して,各α∈Aでφ(α)∈Xαとなる写像φ:A→∪α∈A Xα(選択関数)が存在する.

整列可能定理
任意の集合はある順序で整列集合になる.

じゃあ,証明していきます.
(選択公理⇒整列可能定理の証明)
任意の集合Xを考える.
φ:2X:Xを選択関数とする.つまり,各Y⊆Xでφ(Y)∈Yとする.
X の各部分集合Yに関する次の2つの性質を合わせてPと呼ぶことにする.
(P1)Yは整列順序を入れられる.
(P2)任意のy∈Yでy=φ(X?Y<y>)である.

性質Pをみたす集合全体をAで添え字づけて{Yα|α∈A}としておく.
また,Y:=∪α∈A Yαとする.
次の3つのステップに分けて証明を進めていきます.

ステップ１
各α,β∈Aについて次のいずれかひとつが成り立ち,成り立つのはひとつだけである.
(ア)Yα=Yβ.
(イ)Yα<a>=Yβ(∃a∈Yα).
(ウ)Y alpha=Yβ<b>(∃b∈Yβ).

ステップ２
Yは性質Pをみたす.

ステップ３
じつはY=Xである.
略

つづく