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つづき

定 理 13.1 自然数 (N, >=<) は整列集合である.

一方, 実数 R, 有理数 Q, 整数 Z は通常の大小関係 >=< によって全順序集合で
あるが, いずれも整列集合ではない. それらには最小元がないからである. だか
らと言って, 実数や有理数を 0 以上のものに限っても整列集合にはならない. た
とえば, X = [0, +∞) の部分集合 A = (0, +∞) には最小元が存在しない.
ここで, 自然数を並び替えて得られる順序の例をいくつか考えておこう.

例 13.2 自然数 x, y ∈ N に対して, x ≧ y のとき x ≦' y と定義すれば, 全順序
集合 (N, ≦') が得られる (問 12.6). 要は,
. . . 4 3 2 1
のように, 自然数を通常とは逆順に並べることに相当する. この配列には min N
が存在しないから, (N, ≦') は整列集合ではない.

例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,
1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合に
なる. 実際, 任意の空でない部分集合 A ⊂ N が与えられたとき, A が奇数を含
めば A に含まれる奇数のうち最小のものが min A を与え, A が偶数のみから
なるときは, A に属する偶数のうち最小のものが min A を与える.
次に, 整列集合の簡単な性質を述べておく.
定 理 13.5 整列集合の部分順序集合は整列集合である.

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13.2 整列集合の基本定理
本節では, 整列集合が 2 つ与えられたとき, どちらか一方は他方を延長したも
のであるという基本定理を証明する. そのために切片という概念が重要になる.
(X, ≦) を整列集合とする. a ∈ X に対して
X?a? = {x ∈ X | x < a}
を X の a による切片という.

定 理 13.14 整列集合 X, Y に対して次の 3 つの場合のうち, いずれか 1 つだ
けが成り立つ.
(i) X と Y は順序同型である.
(ii) X と Y の切片が順序同型である.
(iii) X の切片と Y が順序同型である.

つづく