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つづき

http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-11_AC.pdf
GAIRON-book : 2018/6/4(8:44)
第11章 選択公理
集合論が発展する過程で, 数学の深みの中から現れた選択公理は大きな論争
を巻き起こした. その後, 選択公理は集合論の ZF 公理系から独立であることが
示されたが, 今では多くの分野であまり意識されていない. 本章では, 選択公理
について基本的な理解を深めながら, その現れ方と有用性を垣間見たい.
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11.2 選択公理
選択公理には同値な述べ方が何通りかある. 大まかには, 選択集合を用いる
か, 選択関数を用いるか, あるいは直積集合を用いることになるが, それぞれに
多少のバリエーションがある. ここでは, 使いやすく簡潔なものを採用しよう.2)
(AC1) ? を空でない集合族とする. もし Φ not∈ ? であり, ? に属する集合が互い
に素であれば, 集合 A ⊂∪? で3), すべての X ∈ ? に対して |A∩ X| = 1
となるものが存在する. この集合 A を集合族 ? の選択集合という.
(AC2) ? を空でない集合族とする. もし Φ not∈ ? であれば, 写像 f : ? ?→ ∪?
ですべての X ∈ ? に対して f(X) ∈ X となるものが存在する. この写像f を集合族 ? の選択関数という.
(AC3) 集合系 (Aλ|λ ∈ Λ) において, すべての λ ∈ Λ に対して Aλ≠ Φ であれば, 直積集合は ?λ Aλ≠ Φ を満たす.

すぐに証明するが, (AC1)?(AC3) は同値な命題である. これら (のうちの 1 つ)
を選択公理 という. (AC1) と (AC2) において, 集合族 ? 自身が空ならば命題
は自明に成り立つので, ? を単に集合族としても同じことである. ここでは, 応
用を考えて, 集合族 ? をあらかじめ空ではないと断った. 集合の公理 (S10) と
して述べた選択公理 (第 3.3 節) は, 述べ方にわずかな違いがあるが (AC1) と同
値である. また, (AC3) では集合系を扱っているが, 集合系の定義によって, 初
めから Λ≠ Φ である.

つづく