>>161 補足

壱大整域さんが
分かりやすい
下記”証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．順序数λで，¬|λ|≦|X| となるものを取る．選択公理を A := P(X)＼{ Φ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．”
など、Xのべき集合P(X)を構成して、これを使ってXと順序同型を構成するのがキモだね（＾＾；

http://alg-d.com/math/ac/wo_z.html
数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題 壱大整域 2011年11月13日更新
(抜粋)
定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)
証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．順序数λで，¬|λ|≦|X| となるものを取る．選択公理を A := P(X)＼{ Φ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
Xに含まれない元 ∞ not∈ X を用意して，f( Φ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく．

写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )
で定義する．α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである．
β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．
即ち g(α) not∈ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である．
よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる．これは ¬|λ|≦|X| に矛盾する．
故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する．そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|γ:γ→X は全単射である．
∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = Φ，つまりg|γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか．
よってこれによりXを整列する事ができる．

(2⇒1)
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
整列可能定理により∪_{λ∈Λ}X_λを整列し f(λ) := (X_λの最小元) とすれば f が選択関数である．
(引用終り)
以上