純粋・応用数学（含むガロア理論）8

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学（含むガロア理論）7
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1618711564/

＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1-
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 54
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617170015/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/

>>188
>教えてはやらん

正しくは「教えてはや「れ」ん」

そりゃそうだ、お🐎🦌ちゃんの万年ちゃんちゃい児だもんｗｗｗｗｗｗｗ

雑談君の祖国の国歌
https://www.youtube.com/watch?v=ZfiJTWr00rw&;ab_channel=JRvideos

共産主義とは名ばかりの奴隷制国家ｗｗｗｗｗｗｗ

>>191
あっ、ゴメン　>>193で答え書いちゃった

・・・でも在阪朝鮮猿にはわかんねぇかｗｗｗｗｗｗｗ

雑談君、逃げるｗ

そのまま、ピョンヤンまで逃げてくれｗ

そして、二度とオオサカ市イクノ区に戻らないでくれｗ

雑談君、🐖肉、生で食っただろｗｗｗｗｗｗｗ
https://www.cnn.co.jp/fringe/35146065.html

>>196
いえいえ
落ちこぼれクンの口で答えさせることに意味があるので、他の人が答えても大丈夫ですよ

ということで落ちこぼれクン、>>191に答えてね

>>188 補足
>「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、上昇列であって、降下ではありませんｗ

和文しか読まない（読めない？）から、ダメなんだ

下記 Axiom of regularity で
”and that there is no infinite sequence (an) such that ai+1 is an element of ai for all i”
ですよ。分かりますかぁ〜？ ｗ

”(an) such that ai+1 is an element of ai for all i”
　↓
” an ∋ ai+1 for all i ”
ですよ。分かりますかぁ〜？ｗ（＾＾；

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity

In mathematics, the axiom of regularity (also known as the axiom of foundation) is an axiom of Zermelo?Fraenkel set theory that states that every non-empty set A contains an element that is disjoint from A. In first-order logic, the axiom reads:
∀ x,(x≠ Φ → ∃ y∈ x,(y∩ x=Φ )).
The axiom of regularity together with the axiom of pairing implies that no set is an element of itself, and that there is no infinite sequence (an) such that ai+1 is an element of ai for all i. With the axiom of dependent choice (which is a weakened form of the axiom of choice), this result can be reversed: if there are no such infinite sequences, then the axiom of regularity is true. Hence, in this context the axiom of regularity is equivalent to the sentence that there are no downward infinite membership chains.

Contents
2 The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity
Let the non-empty set S be a counter-example to the axiom of regularity; that is, every element of S has a non-empty intersection with S.
We define a binary relation R on S by aRb:⇔ b∈ S∩ a, which is entire by assumption.
Thus, by the axiom of dependent choice, there is some sequence (an) in S satisfying anRan+1 for all n in N. As this is an infinite descending chain, we arrive at a contradiction and so, no such S exists.

>>202
両端があるんだからどっちでもいいんだよ阿呆
ωから見たら下降列、0から見たら上昇列
馬鹿はこれ以上喋るな

で、逃げっ放しの落ちこぼれクン
>>191はさすがに答えられるよな
これ答えられなきゃキミをサルと認定させてもらうよ

>>202 補足

・空集合Φから出発して、段々複雑な集合を作っていく
・ノイマン流で、0＝Φ、1＝{Φ}、2＝{0,1}＝{Φ,{Φ}}などなど
・この集合を創造する列は、無限に続く。いや続かなければならない。ZFCは、少なくともカントールの集合論を包含すべし。つまり、無限集合を創造できなければならない
・よって、この列は青天井の無限大へ続く
・ところで、列が無限か有限かは、どこで決まるか？　それは列の項の数で決まる。上から数えても、下から数えても変わるはずもない。変わるように思うのは、妄想でしょ
・正則性公理は、なぜ必要か？ ノイマン先生は、ZFCに余計な集合を持ち込みたくなかったのでしょう。ZFCの中をスッキリして、この後の無矛盾だとか完全性とかを証明するために。超限帰納法も使えるしね
・正則性公理が、上昇する無限列を規制したらまずい。有限列しかできないなら、カントールの集合論に届かないよ。無限の上昇列は良いんだよ。0∈1∈2・・∈ω∈ω+1・・ は当然でしょ（＾＾

>>205-206
はい、逃げたのでキミをサルと認定しますた
サルには数学は無理なので諦めましょう

>>206
>・ところで、列が無限か有限かは、どこで決まるか？　それは列の項の数で決まる。上から数えても、下から数えても変わるはずもない。変わるように思うのは、妄想でしょ
誰かが変わると言ってることが妄想ｗ

>>・正則性公理が、上昇する無限列を規制したらまずい。
誰かが規制してると言ってることが妄想ｗ

>有限列しかできないなら、カントールの集合論に届かないよ。
仮定が妄想なので無意味ｗ

>無限の上昇列は良いんだよ。
誰かが規制してると言ってることが妄想ｗ

>0∈1∈2・・∈ω∈ω+1・・ は当然でしょ（＾＾
当然とは？
当然その列は有限列ですが？
なぜならωの元はどれも自然数だから。∈ωのすぐ左は自然数。それがどんな自然数だろうと有限列。
なぜこんな簡単なことが理解できないの？サルだから？
だから言ってるだろ？サルに数学は無理だと。諦めなさい。

>>202
>” ai ∋ ai+1 for all i ”

┐(´∀｀)┌ﾔﾚﾔﾚ
「雑談」ことチャット君は　いまだに
「自然数鉄道とリミット・エアライン」
の喩えが理解できないんだねえｗ

いくら自然数鉄道に乗っていても、ωにはたどり着けないの

ωに行きたかったら
「すべての自然数を要素にもつ最小の集合」
を認めるという飛躍を行うしかないの
飛ぶしかないの

チャット君は、飛行機に乗れない賎民

>>206
>・空集合Φから出発して、段々複雑な集合を作っていく
>・ノイマン流で、0＝Φ、1＝{Φ}、2＝{0,1}＝{Φ,{Φ}}などなど
>・この集合を創造する列は、無限に続く。いや続かなければならない。

一方、上記の「鉄道」だけでは、永遠にωは生成されない

>ZFCは、少なくともカントールの集合論を包含すべし。

チャット君の集合論は、BC(Before Cantor)

>つまり、無限集合を創造できなければならない

つまり、無限集合を創造できない

有限🐎🦌、それが現代数学から落ちこぼれた永遠の中世人　チャット君ｗ

後者関数だけではωに達しない
後者関数を無限回適用することはできない

ωを作るには後者関数でない別の方法が必要
それが無限公理

0∈１∈・・・∈ｎ∈ω　は有限列
決して無限列にはなりえない

鉄道を無限に乗り続けてωに至ることはない
かならずどこかで飛行機に乗らないとωにいけない

ωから降りるときも同様
かならず最初に飛行機でどこかのｎに行かなければならない
ωから下にいく鉄道路線はない

>>183 補足
>証明にべき集合を使っていないね
>単純に、どんどん集合の元を取っていって、取りつくせるって

下記proofwikiに、分かり易い証明があるね
べき集合を作って、順序数への選択関数を作る
（べき集合P(S)で、選択関数用の集合族を作ったってことかな？）
超限帰納法で、どんどん集合の元を取っていって、取りつくせるってｗ（＾＾
（ところでproofwikiなんてあるんだ。やっぱ英語情報はいいね）
https://proofwiki.org/wiki/Well-Ordering_Theorem
Well-Ordering Theorem
Contents
1 Theorem
2 Proof
2.1 Basis for the Induction
2.2 Inductive Step
3 Also known as
4 Axiom of Choice

Theorem
Every set is well-orderable.

Proof
Let S be a set.
Let P(S) be the power set of S.
By the Axiom of Choice, there is a choice function c defined on P(S)＼{Φ}.
We will use c and the Principle of Transfinite Induction to define a bijection between S and some ordinal.
Intuitively, we start by pairing c(S) with 0, and then keep extending the bijection by pairing c(S＼X) with α, where X is the set of elements already dealt with.

Basis for the Induction
α=0
Let s0=c(S).

Inductive Step
Suppose sβ has been defined for all β<α.
If S＼{sβ:β<α} is empty, we stop.
Otherwise, define:
sα:=c(S＼{sβ:β<α})
The process eventually stops, else we have defined bijections between subsets of S and arbitrarily large ordinals.
(引用終り)
以上

>>214
ところで
下記のWell-ordering theoremに、
”the well-ordering theorem is equivalent to the axiom of choice, 略 in first order logic .
In second order logic, however, the well-ordering theorem is strictly stronger than the axiom of choice”
とある
これ、面白いね
first order logicと second order logicでは、こんなに違うんだ
日本人で知っている人少ないだろうね（＾＾；

https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Ernst Zermelo introduced the axiom of choice as an "unobjectionable logical principle" to prove the well-ordering theorem.[3] One can conclude from the well-ordering theorem that every set is susceptible to transfinite induction, which is considered by mathematicians to be a powerful technique.[3]

History
Georg Cantor considered the well-ordering theorem to be a "fundamental principle of thought".[4] However, it is considered difficult or even impossible to visualize a well-ordering of R ; such a visualization would have to incorporate the axiom of choice.[5] In 1904, Gyula K?nig claimed to have proven that such a well-ordering cannot exist. A few weeks later, Felix Hausdorff found a mistake in the proof.[6] It turned out, though, that the well-ordering theorem is equivalent to the axiom of choice, in the sense that either one together with the Zermelo?Fraenkel axioms is sufficient to prove the other, in first order logic (the same applies to Zorn's Lemma). In second order logic, however, the well-ordering theorem is strictly stronger than the axiom of choice: from the well-ordering theorem one may deduce the axiom of choice, but from the axiom of choice one cannot deduce the well-ordering theorem.[7]

There is a well-known joke about the three statements, and their relative amenability to intuition:
The axiom of choice is obviously true, the well-ordering principle obviously false, and who can tell about Zorn's lemma?[8]
略
(引用終り)
以上

>>213
(引用開始)
鉄道を無限に乗り続けてωに至ることはない
かならずどこかで飛行機に乗らないとωにいけない

ωから降りるときも同様
かならず最初に飛行機でどこかのｎに行かなければならない
ωから下にいく鉄道路線はない
(引用終り)

サルはそこで落ちこぼれているのか
哀れなやつｗ

>>217
ピョンヤンに帰れよ　チョーセンジン

>>216
ピョンヤンに帰れよ　チョーセンジン

>>214-215
チョーセンジン　日本語読めずに漫然コピペ（嘲

>>216 補足

落ちこぼれ おサルの話は
数学では、下記の集積点あるいは極限点として、説明されるべきものです

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点

集積点（英: accumulation point）あるいは極限点（英: limit point）は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念。（X の位相に関する x の任意の近傍が x 自身を除く S の点を含むという意味で）S によって「近似」できる X の点 x を S の集積点と呼ぶ。このとき、集積点 x は必ずしも S の点ではない。たとえば実数 R の部分集合 S = { 1/n | n ∈ N } を考えたとき点 0 は S の（唯一の）集積点である。集積点の概念は極限の概念を適切に一般化したもので、閉集合や閉包といった概念を下支えする。実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点を全て含むことは同値で、集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作としても捉えられる。

任意の有限区間または有界区間はそれが無限個の点を含むならば最少で一つの集積点を含む必要がある。しかし、さらに有界区間が無限個の点とただ一つの集積点を含むならば、区間内の任意の無限列がその唯一の集積点に収束する。

極限点の種類
・x を含む任意の開集合が無限に多くの S の点を含むとき、集積点 x を特に S の ω-集積点 (ω-accumulation point) という。
・x を含む任意の開集合が非可算無限個の S の点を含むとき、集積点 x を特に S の凝集点 (condensation point) という。
・x を含む任意の開集合 U について |U ∩ S| = |S| が満たされるとき、集積点 x を特に S の完全集積点 (complete accumulation point) という。
X の点 x が点列 (xn)n∈N の密集点 (cluster point) であるとは、x の任意の近傍 V に対し xn ∈ V なる自然数nが無限に存在するときにいう。空間が列収束ならば、これは点列 (xn)n∈N の部分列で x を極限とするものがあることと同値である。

ネットの概念は点列の概念を一般化したもので、ネットに関する密集点の概念は凝集点と ω-集積点の概念をともに一般化するものになっている。集積および集積点の概念は同じようにフィルターに対しても定義することができる。

点列の密集点全体の成す集合は、しばしば極限集合と呼ばれる。
(引用終り)
以上

チャット君は脳内で大ボリューム再生中ｗｗｗ
https://www.youtube.com/watch?v=8DZuwTJ751s&;ab_channel=%E3%82%B0%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%AD%E3%82%A8

>>220
チョーセンチャット君は集積点、極限点が分かってないｗ

有理数では有理数列の集積点、極限点は存在しない
チャットはこの瞬間大学で落ちこぼれて死んだｗｗｗｗｗｗｗ

いいからチョーセン帰れ　チョーセンザル！

落ちこぼれクンへの課題

自然数全体の集合をNと呼ぶこととする。
１．集合論における標準的なNの構成を示せ。
２．上記構成によるNがwell-definedであることを示せ。
３．上記構成によるNがペアノの公理を満たすことを示せ。

まあ無理でしょうなｗ　これに正答できるようならあのような阿呆な発言はしないはずだからｗ

そもそも「チャット」は、＞列の定義から理解してない

＞の右を・・・で誤魔化す時点で🐎🦌
＞の左も右も省略不可　チャーシュースーガク？　🐎🦌かｗｗｗｗｗｗｗ

>>216
キミは絶対に>>223に正答できない（断言）ｗ

・・・で誤魔化してもいいけど、〇〇の項は何か？と問われたら答えられないとダメ。
で、実際、ωの直前の項は何か？に答えられず逃げ続けているからダメｗ
阿呆が数学やるとこうなるｗ

安達も瀬田も持論を語るに多弁なのに、急所を突く質問には頑なに沈黙。
瀬田の現在の急所：ωの直前の項は何か？

彼らの学問には触れてはならないタブーがあるらしいｗ

>>226
甘やかしちゃダメだよｗ

具体的に書けないから「チャーシュー思考」とかいって
・・・で誤魔化してんだからｗ

チョーセンジンは島の土民ｗにマウントとりたいためだけに数学をもてあそぶが
島の土民のほうがはるかに数学に詳しいので、マウントとられっぱなしｗｗｗ

もう半島帰れよ

>>227
タブーっていうより、単に軽率でウカツなだけ
定義とか一切確認せずに頭の中におもいうかんだ画だけで暴走する
中学・高校では通用したかもしれないが、大学では確実につまづく
実際４月でつまづいてからちっとも先に進めてない
日本語読めないんじゃ数学は無理よ　チョーセン猿ｗ

>>227
＞瀬田の現在の急所：ωの直前の項は何か？

どうせ「デリケートな問題」とかいって逃げる

もうオオサカ市イクノ区に帰ってこなくていいぞ
イクノ区だろ？実家は焼肉屋「高麗」か？

>>228
甘やかしてはいない。・・・は必要な記法。

>>232
・・・を一切用いるな、と言った覚えは一度もない
ω＞･･･という誤魔化しのためだけに･･･を用いるなら容赦なく焚●すべし
悪魔を生かしておく必要はない

>>231
・・・を一切用いるな、と言った覚えは一度もない
ω＞･･･という誤魔化しのためだけに･･･を用いるなら容赦なく焚●すべし
悪魔を生かしておく必要はない

哀れな落ちこぼれのサル二匹
そのうちの一匹は、数学科出身を自慢する。なんだかねーｗ（＾＾

>>234
サルはキミ >>207

>>234
悪いこといわないから　さっさとチョーセンに帰れｗｗｗ

>>216 >>220 補足
(>>213 引用開始)
鉄道を無限に乗り続けてωに至ることはない
かならずどこかで飛行機に乗らないとωにいけない
ωから降りるときも同様
かならず最初に飛行機でどこかのｎに行かなければならない
ωから下にいく鉄道路線はない
(引用終り)
(>>220 引用開始)
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点
集積点（英: accumulation point）あるいは極限点（英: limit point）は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念
S によって「近似」できる X の点 x を S の集積点と呼ぶ
このとき、集積点 x は必ずしも S の点ではない
たとえば実数 R の部分集合 S = { 1/n | n ∈ N } を考えたとき点 0 は S の（唯一の）集積点である
集積点の概念は極限の概念を適切に一般化したもので、閉集合や閉包といった概念を下支えする
実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点を全て含むことは同値で、集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作としても捉えられる
(引用終り)

簡単な例で補足説明するよ（＾＾
1．自然対数の底e は、超越数で、下記のように 「e=exp 1=Σn=0〜∞ {1/n!}」という簡単な級数の表現を持つ
2．極限を使って書くと、lim n→∞ (Σn=0〜n {1/n!})=exp 1=e である
3．いま、ノイマンの自然数構成を認めて、N＝ω（最小の極限順序数）としよう
4．集合Nは、全ての自然数を含む。つまりN={0,1,2・・n・・}であり、繰り返すが全ての自然数を含む
5．上記の集積点：「極限の概念を適切に一般化したもの」に倣って説明する
6．eは超越数だから、上記 (Σn=0〜n{1/n!})は、有限で終わっては有理数にしかならない
　つまり lim n→∞ で、nが集積点 ∞ ＝N＝ω に到達したときに、e= 2.718281828… なる超越数が得られる
7．小数列 2, 2.7, 2.71, 2.718, 2.7182・・・と一桁ずつ伸ばして、コーシー列を考えることができる
　これは、もちろん超越数eに収束するけれども、数学では あくまで有理数Qの範囲の定義だとしたい
　つまり、小数桁数nは全ての自然数を尽くすことができるが、ωには未到達という微妙な存在。それが、コーシー列
8．そして、数学的定義として、このコーシー列が超越数eを定義していると考えて、eと同一視する

ここらの微妙な話があって
同じことは、無限小数 0.999・・・にも言えるのです
0.999・・・でコーシー列を作って、1と同一視すれば、0.999・・・＝1です
しかし 小数の桁数nは全ての自然数を尽くすことができるが、ωには未到達という微妙な存在。それが、コーシー列

ここらの機微が分かっていない人が、
何年も0.999・・・で議論しているのです（＾＾；

つづく

>>237
つづき

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0
指数関数
ネイピア数 e (= 2.718281828…) を底とする関数 x ↦ ex である。これを exp x のようにも書く。

厳密な定義
以下の冪級数
　exp(x)=Σn=0〜∞ {x^n/n!}=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・・
で定義するのが典型的である[5]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0
ネイピア数
自然対数の底
微分積分学の基本的な関数を使った定義
　e=exp 1=Σn=0〜∞{1/n!}

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。
例
順序数全体の成す類は整列順序付けられているから、有限でない最小の極限順序数 ω が存在する。この順序数 ω は、自然数の最小上界に一致するものとして、最小の超限順序数でもある。ゆえに、ω は自然数全体の成す集合の順序型を表している。
(引用終り)
以上

>>237
＞ここらの微妙な話があって

チャット君はいまだに理解できてないのねｗ

無限和は直接定義できません

したがって　無限数列の同値類という形で定義されます

しかし、そういうアタマを使う話は、チャット君にはムリ

いままで一度も考えたことないからねえ

どうせ朝鮮学校ではケンカしかしてこなかったんだろ？ｗ

>>237
＞順序数全体の成す類は整列順序付けられているから、
＞有限でない最小の極限順序数 ω が存在する。

これ完全な誤りね

順序数を定義しただけではωの存在は言えません
無限公理が必要ですｗ

>>237
>6．eは超越数だから、上記 (Σn=0〜n{1/n!})は、有限で終わっては有理数にしかならない
>　つまり lim n→∞ で、nが集積点 ∞ ＝N＝ω に到達したときに、e= 2.718281828… なる超越数が得られる
ωは自然数ではないからnはωに到達しません。
極限がまるで分かってない。大学一年四月で落ちこぼれた証拠。

>7．小数列 2, 2.7, 2.71, 2.718, 2.7182・・・と一桁ずつ伸ばして、コーシー列を考えることができる
>　これは、もちろん超越数eに収束するけれども、数学では あくまで有理数Qの範囲の定義だとしたい
いみふｗ

>　つまり、小数桁数nは全ての自然数を尽くすことができるが、ωには未到達という微妙な存在。
微妙でもなんでもないｗ　何のための極限の厳密化かｗ　落ちこぼれのキミが分かってないだけｗ

>それが、コーシー列
いみふｗ

>8．そして、数学的定義として、このコーシー列が超越数eを定義していると考えて、eと同一視する
間違い。
実数と同一視するのは有理コーシー列ではなくその同値類。
で、同一視は何も数学者が話し合いで決めるもんじゃなく環同型だからなんだけど分かってる？ｗ

>ここらの微妙な話があって
どこらの？ｗ

>同じことは、無限小数 0.999・・・にも言えるのです
>0.999・・・でコーシー列を作って、1と同一視すれば、0.999・・・＝1です
>しかし 小数の桁数nは全ての自然数を尽くすことができるが、ωには未到達という微妙な存在。それが、コーシー列
ぱーちくりんｗ

>ここらの機微が分かっていない人が、
なんだよ機微ってｗ　文学じゃないんだからｗ

>何年も0.999・・・で議論しているのです（＾＾；
妄想ｗ

突然ですが、メモ貼る（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_A._Loeb
Peter A. Loeb

Peter Albert Loeb is a mathematician at the University of Illinois at Urbana–Champaign. He co-authored a basic reference text on nonstandard analysis (Hurd–Loeb 1985). Reviewer Perry Smith for MathSciNet wrote:

This book is a welcome addition to the literature on nonstandard analysis.[1]
The notion of Loeb measure named after him has become a standard tool in the field.[2]

In 2012 he became a fellow of the American Mathematical Society.[3]

See also
Influence of nonstandard analysis

https://en.wikipedia.org/wiki/Influence_of_nonstandard_analysis
Influence of nonstandard analysis
The influence of Abraham Robinson's theory of nonstandard analysis has been felt in a number of fields.

Contents
1 Probability theory
2 Economics
3 Education
4 Authors of books on hyperreals

Probability theory
"Radically elementary probability theory" of Edward Nelson combines the discrete and the continuous theory through the infinitesimal approach. The model-theoretical approach of nonstandard analysis together with Loeb measure theory allows one to define Brownian motion as a hyperfinite random walk, obviating the need for cumbersome measure-theoretic developments. Jerome Keisler used this classical approach of nonstandard analysis to characterize general stochastic processes as hyperfinite ones.

>>242
追加
https://kotobank.jp/word/Loeb%2CP.-1254959
コトバンク
Loeb，P.（英語表記）
世界大百科事典内のLoeb，P.の言及
【超準解析】より
…すなわち，集合上の測度として定義される確率は，超有限集合の元の個数をかぞえる組合せ的確率によって無限に近似される。とくにローブP.Loebの発明したメカニズムは，標準確率と超有限確率との間を自由に往復することを可能にした。現在，この方法によって確率論の再編成および新理論の建設が大きな成果をあげている。…

>>237 補足
20世紀に。無限公理が必要とされたのは、他の公理から独立で、他の公理からは無限公理が導けないからだよ
だが、無限の概念自身は、古代ギリシャのアリストテレスも書いているよ
実際、デデキントはデデキント無限なる概念を考えて、無限集合を証明しようとしたが、ちょっと失敗もあったけどね

数理哲学では、無限は公理ではないよ
つまり、古代ギリシャ以降、多くの数学者たち、例えばリーマンなども無限公理の無い時代にリーマン球面に無限大の点を考えたよ

カントールも、無限公理など使わずに、無限集合論を作ったぜ ｗ（＾＾
本末転倒の理解をしているサルが居るｗｗ（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
デデキント無限
集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。

デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。

つづく

>>243
つづき

（参考：Second-order の無限公理）
https://plato.stanford.edu/entries/logic-higher-order/
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Second-order and Higher-order Logic
First published Thu Aug 1, 2019 by Jouko Väänänen

1. Introduction
2. The Syntax of Second-Order Logic
3. The Semantics of Second-Order Logic
3.1 The Ehrenfeucht-Fraïssé game of second-order logic
4. Properties of Second-Order Formulas
5. The Infamous Power of Second-Order Logic
5.1 Putting distance between second- and first- order logic
5.2 The collapse of the Completeness Theorem
5.3 “Set theory in sheep’s clothing”
5.4 Does second-order logic depend on the Axiom of Choice?
6. Non-Absoluteness of Truth in Second-Order Logic
7. Model Theory of Second-Order Logic
7.1 Second-order characterizable structures
7.2 Second-order logic and large cardinals
7.3 The model theory of general and Henkin models
8. Decidability Results
9. Axioms of Second-Order Logic
9.1 General models and Henkin models
9.2 Axioms of infinity
10. Categoricity
11. Logics Between First and Second Order
12. Higher Order Logic vis-à-vis Type Theory
13. Foundations of Mathematics
14. Second-Order Arithmetic
15. Second-Order Set Theory
16. Finite Model Theory

9.2 Axioms of infinity
Some are equivalent if the Axiom of Choice is assumed. Let us call a second-order sentence
ϕ of the empty vocabulary an Axiom of Infinity if
A |-ϕ if and only if A is infinite.
An axiom of infinity can say in second-order logic that a proper subset of the domain has the same cardinality as the entire domain (i.e., that the domain is not Dedekind-finite), or that there is a partial order without a maximal element, or that there is a set with a unary function and a constant which constitute a structure isomorphic to (N,s,0), or that the domain is the union of two disjoint sets which have the same cardinality as the domain, and so on. As is the case in set theory without the Axiom of Choice, the different formulations of infiniteness need not be equivalent. In second-order logic the situation is even more diffuse because of the variety of different formulations of the Axiom of Choice. We refer to Asser (1981) for a discussion of the different variants and to Hasenjaeger (1961) for a proof that the various non-equivalent forms of Axioms of Infinity form in a sense a dense set. For a survey of different concepts of finiteness, see de la Cruz (2002).
(引用終り)
以上

(>>213 引用開始)
鉄道を無限に乗り続けてωに至ることはない
かならずどこかで飛行機に乗らないとωにいけない
ωから降りるときも同様
かならず最初に飛行機でどこかのｎに行かなければならない
ωから下にいく鉄道路線はない
(引用終り)

なにを言いたいの？ｗ（＾＾

突然ですが（＾＾；
下記「ラッセル氏の存在も注目を集める。2歳で元素記号を暗記し、小学生で自ら携帯電話をつくり、13歳で水リサイクルシステムの特許を取得した「神童」だ。米ペイパル共同創業者ピーター・ティール氏の薫陶を受け、17歳でルミナーを創業。特別買収目的会社（SPAC）を使って20年12月に上場し、25歳でビリオネアになった。」
が、凄まじいね

https://www.nikkei.com/article/DGXZQOUC164JO0W1A410C2000000/?unlock=1
車の「目」価格100分の1　最新センサー、トヨタも採用 日経
2021年5月20日 2:00 [有料会員限定]

米スタートアップ、ルミナー・テクノロジーズも500〜1000ドルの低価格ライダーを開発した。独自システムで250メートル先まで検知する一方、周囲の状況を数センチメートル単位で正確に把握できるなど精度も高い。反射率の低い道路上の黒い落下物や黒い服を着た人なども把握できるという。

独ダイムラー、スウェーデンのボルボ・カー、インテル傘下のモービルアイ（イスラエル）、トヨタ自動車の研究子会社が試験車などでルミナー製を採用した。

「自動運転は安全性が不可欠だ。100人のうち1人がぶつかっていいということはなく、限りなく事故ゼロの精度でないといけない」。ルミナーのオースティン・ラッセルCEOは日本経済新聞の取材に応じ、こう強調する。

同社はラッセル氏の存在も注目を集める。2歳で元素記号を暗記し、小学生で自ら携帯電話をつくり、13歳で水リサイクルシステムの特許を取得した「神童」だ。米ペイパル共同創業者ピーター・ティール氏の薫陶を受け、17歳でルミナーを創業。特別買収目的会社（SPAC）を使って20年12月に上場し、25歳でビリオネアになった。

米国では同社以外に、米エバなど5社以上のスタートアップ企業がSPACスキームを使いながら上場した。
(引用終り)
以上

>>247
チャット君こそ何いいたいの？

無限回実行できるとかマジでいってる？

脳ミソ　サナダムシに食われてる？ｗｗｗ

>>247
チャット君はケンカしか能がない朝鮮ヤンキーなんだから
おとなしく祖国に帰って高射砲でバラバラにされなさいｗｗｗｗｗｗｗ

ああ、そうそう
雑談＝チャット　
だから　チャット君ねｗ

>>246
救い様の無い馬鹿

>>246
サルは、複素関数論やらんの？
リーマンが、リーマン球面（下記）を考えた

無限遠点は、地球儀で言えば、北極点に当たる
飛行機を使ってもいいけど、原子力潜水艦もありらしいよ（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%97%E6%A5%B5%E7%82%B9
北極点
1958年8月3日、アメリカの原子力潜水艦『ノーチラス号』が北極点を潜航したまま通過して北極海を横断。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2
リーマン球面は、無限遠点を一点追加して複素平面を拡張する一手法であり、ここに無限遠点
1/0 = ∞
は、少なくともある意味で整合的かつ有用である。 19 世紀の数学者ベルンハルト・リーマンから名付けられた。 これはまた、以下の通りにも呼ばれる。

複素射影直線と言い、CP1 と書く。
拡張複素平面と言い、C＾ または C ∪ {∞} と書く。
純代数的には、無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成する。無限を伴う算術は、通常の代数規則すべてに従う訳ではないので、拡張複素数全体は体を構成しない。しかしリーマン球面は、幾何学的また解析学的に無限遠においてさえもよく振舞い、リーマン面とも呼ばれる 1-次元複素多様体をなす。

目次
1 拡張複素数
2 複素多様体としてのリーマン球面
3 複素射影直線としてのリーマン球面
4 球面としてのリーマン球面
7 応用

複素射影直線としてのリーマン球面
リーマン球面は、複素射影直線としても定義することができる。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Riemann_sphere1.jpg/375px-Riemann_sphere1.jpg
複素数 A をリーマン球面上の一点 α に写す立体射影

応用
リーマン球面は物理学で多くの応用を有する。 量子力学において、複素射影直線上の点は、光子の偏光状態、スピン 1/2 の有質量粒子のスピン状態、および一般に 2 状態の粒子の自然な値を示す。 リーマン球面は、天球の相対論的モデルに使用することも推奨されてきた。 弦理論 では、弦の世界面 (worldsheet) はリーマン球面であり、最も単純なリーマン面としてのリーマン球面は重要な役割を演じる。 これは、ツイスター理論においても重要である。

>>252
無限遠点が何だと？
バカ丸出し

無限遠点を考えればωが後続順序数になるとでも？
だからおまえはサルと云われる

>>252
無限集合は出来たけど
無限操作は不可だと？

じゃ、どうやって無限の箱に数を入れるのかな？（＾＾
時枝先生に言ってやれ！ 「無限操作は不可」だと。時枝先生に喜ばれるぞｗｗ

(>>238より)指数関数 e^x=exp(x)=Σn=0〜∞ {x^n/n!}=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・・
この無限級数が最後まで実行出来なければ、exp(x)は完成しないし、e=exp(1)は超越数にならんぜよｗ

公理主義で、不足する公理は追加してでも、ZFCで数学が遂行できるようにする・・、してきたんだよ！
分かってないサルどもだなｗ

なお、北極点は「犬ぞりを使用」で可らしい
飛行機いらないぜｗ

（参考）
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/1-
箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.

https://kotobank.jp/word/%E5%85%AC%E7%90%86%E4%B8%BB%E7%BE%A9-63350
コトバンク
公理主義
精選版 日本国語大辞典「公理主義」の解説
?名? すべての理論は、基礎となる公理群を出発点とし、厳密な推論によって打ち立てられなければならないという主張。一九世紀末、ドイツの数学者ヒルベルトによって提唱され、実践された。現代の数学はこの立場に立って推進されている。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%97%E6%A5%B5%E7%82%B9
北極点
・1978年4月26日、日本大学山岳部が日本人初の北極点到達。犬ぞりを使用。
・　同年4月29日、日本の冒険家・植村直己が世界初の単独行で北極点到達。犬ぞりを使用。
・1989年5月10日、日本の女優・和泉雅子が北極点到達（日本人女性初。女性として世界で2人目。）。スノーモービルで“そり”を曳いた。
(引用終り)
以上

>>255
>無限集合は出来たけど
>無限操作は不可だと？
誰と会話してんだ？ｗ

>じゃ、どうやって無限の箱に数を入れるのかな？（＾＾
え？？？
数列が存在しないと？

>時枝先生に言ってやれ！ 「無限操作は不可」だと。時枝先生に喜ばれるぞｗｗ
だから誰と会話してんだよｗ　大丈夫か？ｗ

>(>>238より)指数関数 e^x=exp(x)=Σn=0〜∞ {x^n/n!}=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・・
>この無限級数が最後まで実行出来なければ、exp(x)は完成しないし、e=exp(1)は超越数にならんぜよｗ
はい、素人丸出しな初歩的間違いｗ
無限級数は無限項の和じゃありませんｗ
落ちこぼれにも程があるだろｗ

>公理主義で、不足する公理は追加してでも、ZFCで数学が遂行できるようにする・・、してきたんだよ！
いみふｗ

>分かってないサルどもだなｗ
自白ですか？ｗ

>なお、北極点は「犬ぞりを使用」で可らしい
>飛行機いらないぜｗ
やっぱり>>254なんだｗ　サル丸出しｗ

じゃあ無限遠点を使ってωが後続順序数であることを証明してごらんｗ
そしてsuc(x)＝ωの解を答えてねｗ

まあ無理だと思うけどｗ　妄想ザルが吠えてるだけだからｗ

吠えるだけならサルにもできるｗ
落ちこぼれクンはただ吠えるだけ、質問には決して答えないｗ

>>255 追加

サルと会話？　そんな気はない
サルは放し飼い

無限操作は不可だと言った
時枝の無限数列存在するんだろ？

s = (s1，s2，s3 ，・・・)∈R^N(下記)
1,2,3,・・・ と自然数の全てを尽くすんだよ

無限操作は不可だと
可能でしょ？　サルはダブルスタンダードが平気ですｗ

（参考）
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/2
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N
(引用終り)

リーマン球面
複素関数
ｙ＝1/ｚを取る
逆関数
ｚ＝1/ｙ

ｚに自然数ｎを入れる
時枝同様に、1,2,3,・・・ と自然数の全てを尽くす
ｙは、その極限として0になる
lim z→∞ 1/ｚ＝0

逆関数
ｚ＝1/ｙ で
ｙ＝0に相当するのが
リーマン球面のP（∞）の点
即ち
ｚ＝∞
ｙは自然数で、ｚはその逆数だったから
この場合、ｚ＝∞＝ωだよ

詳しくは、
　>>252 リーマン球面 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2
ご参照 （”1/0 = ∞” など）

>>259
>>259 追加

一流数学者は、必要なら何でも導入するよ
サルには理解できないだろうが

例えば、下記 強到達不能基数やグロタンディーク宇宙
21世紀で、ZFCに止まっている一流数学者は、いないだろうね

サルには理解できないだろうが

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
到達不能基数
(抜粋)
非可算基数 k が弱到達不能基数であるとは、それが正則な極限基数（英語版）であることを言い、強到達不能基数 (strongly inaccessible) または単に到達不能基数 (inaccessible) であるとは、k 未満の任意の基数 λ に対し、 2^λ<κ を満たす正則基数であることを言う[1]。

“到達不能基数”という用語は曖昧である。1950年頃までは弱到達不能基数を指していたが、以後は普通は強到達不能基数を意味するからである。

定義より、強到達不能基数は同時に弱到達不能基数でもある。一般連続体仮説が成り立つ場合は、強到達不能基数であることの必要十分条件は弱到達不能であることになる。

α_0 は正則な強極限基数である。選択公理を仮定すると、他の全ての無限基数は正則かまたは（弱）極限である。しかしながら、その両方になれるもの、即ち弱到達不能基数は中でも大きいものに限られる。

順序数が弱到達不能基数であるための必要十分条件は、それが正則順序数であり、かつ、正則順序数の列の極限であることである（0,1,α_0)は正則順序数だが正則順序数の列の極限ではない）。強極限かつ弱到達不能な基数は強到達不能である。

強到達不能基数の存在は、グロタンディーク宇宙が存在するという形で仮定される場合がある。この両者の間には深い繋がりがある。

モデルと無矛盾性
ZFCの下では、k が強到達不能であるときVk がZFCのモデルになる。 ZFの下では、k が弱到達不能であるときゲーデル宇宙のLk がZFCのモデルになる。 よって、ZF+"弱到達不能基数が存在する"はZFCが無矛盾であることを導き、不完全性定理よりその存在はZFCで証明できない。 つまり、到達不能基数は巨大基数の一種である。
(引用終り)
以上

>>259
>サルは放し飼い
キミのような害獣は野放しにしないよｗ

>ｚ＝1/ｙ で
>ｙ＝0に相当するのが
0で割ることはできないって小学校で習わなかったの？

>この場合、ｚ＝∞＝ωだよ
だから何？
ωは後続順序数とでも言いたいの？
じゃあ早く証明して下さいね
無理だと思いますけどｗ　偽だからｗ

>>260
>21世紀で、ZFCに止まっている一流数学者は、いないだろうね
εδ論法も線型写像も分からない落ちこぼれに21世紀の数学を語られてもねえｗ

>>259 補足
(引用開始)
詳しくは、
　>>252 リーマン球面 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2
ご参照 （”1/0 = ∞” など）
(引用終り)

ここの
”1/0 = ∞”
は、演算としての1/0 ではなく
幾何学的な（あるいは位相空間の）点としての 無限遠点 1/0 = ∞ の意味だよ

サルには難しいかもな

サルのεδ論法は、まったく記号としての丸暗記そのもので
その意味が全く理解できていないのです
地頭のわるいサルですｗ
丸暗記で、数学科を乗り切ったらしい（＾＾；

>>263
>幾何学的な（あるいは位相空間の）点としての 無限遠点 1/0 = ∞ の意味だよ

>複素関数
>ｙ＝1/ｚを取る
の定義域、値域を述べよ

関数とは何か分かってないんだろうｗ

>>264
このサル今日も妄想全開ｗ

>>179
戻る
(引用開始)
>>177
>選択公理を仮定すれば最小の正実数が存在するだって？0点で落第ですｗ
”最小の正実数が存在する”は、可能じゃない？（＾＾

下記の”Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.”
が許されるなら。かつ、整列可能定理を認めるならば
「任意のある実数 r∈R を取って、rを最小とする実数Rの整列順序が可能」でしょ？
(引用終り)

答を書いておく
１．任意のある実数 r∈R を取って、残りはR’＝R＼r (注：Rからrを取り除いた集合)とする
２．R’を整列可能定理で整列させる
３．rを最小と定義し、それより大きい整列集合として、R’の整列集合をつなぐ
４．こうすれば、「任意のある実数 r∈R を取って、rを最小とする実数Rの整列順序が可能」
QED

簡単でしょ？（＾＾；
これを拡張して、R中のお好みの整列部分集合Sを先に取り出して、残り R＼Sを整列させることで
R中のお好みの整列部分集合Sと、残りのR＼Sを整列させた整列集合とをつないだ 整列集合が構成可能

トリビアだが面白いでしょ
この程度の頭の体操ができないようじゃ
地頭悪いよね、サル二匹（＾＾；

>>259

訂正
ｙは自然数で、ｚはその逆数だったから
　↓
ｚは自然数で、ｙはその逆数だったから

だな
逆に書いていた（＾＾；

>>267 追加
下記 Riemann surface、g(z) = 1 / z、 ”called the Riemann sphere ”
だってよ

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface
Riemann surface

Examples
・Let S = C ∪ {∞} and let f(z) = z where z is in S \ {∞} and g(z) = 1 / z where z is in S \ {0} and 1/∞ is defined to be 0. Then f and g are charts, they are compatible, and { f, g } is an atlas for S, making S into a Riemann surface. This particular surface is called the Riemann sphere because it can be interpreted as wrapping the complex plane around the sphere. Unlike the complex plane, it is compact.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%9D%A2
リーマン面

複素解析においてリーマン面（Riemann surface）とは、連結な複素 1 次元の複素多様体のことである。ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられた。 リーマン面は、複素平面を変形したものと考えられる。 各点の近くで局所的には、複素平面の部分に似ているが、大域的位相は大きく異なり得る。例えば、球面、トーラス、または互いに糊付けした二枚の面のように見え得る。

リーマン面の主要な意味合いは、正則関数がそこで定義できることである。 今日、リーマン面は正則関数、特に、平方根や自然対数等の多価関数の大域的振る舞いを研究するための自然な土台と考えられている[1][2]。

全てのリーマン面は向きづけ可能な実 2 次元の実解析的多様体（従って曲面）であって、正則関数を一義的に定義するために必要な追加的構造（特に複素構造）を含む。2 次元実多様体は、それが向き付け可能な場合、かつその場合に限り、（通常は、等価でない複数の方法により）リーマン面にすることができる。従って、球面やトーラスは複素構造を持ち得るが、メビウスの輪、クラインの壺および射影平面は持ち得ない。

リーマン面は、でき得る限り良い特性を有しているという幾何学的事実から、他の曲線、多様体または代数多様体に対し一般化の直感および動機をしばしばもたらす。リーマン・ロッホの定理は、この影響の第一の例である。
(引用終り)
以上

>>266
>１．任意のある実数 r∈R を取って、残りはR’＝R＼r (注：Rからrを取り除いた集合)とする
>２．R’を整列可能定理で整列させる
おまえの主張「ωの∈無限降下列 ω∋・・・∋1∋0 が存在する。」の∈に対応する順序関係は通常の大小関係。
一方整列可能定理は通常の大小関係で整列集合にできると謳ってないｗ
よって無意味ｗ

>３．rを最小と定義し、それより大きい整列集合として、R’の整列集合をつなぐ
ダメ。
2.のR'の整列順序をRに適用したときにrがRの最小元でなければならない。
おまえのは上記整列順序と無関係にrを最小と定義しているためそうなってない。
馬鹿過ぎｗ

>４．こうすれば、「任意のある実数 r∈R を取って、rを最小とする実数Rの整列順序が可能」
大間違い。

>QED
何の証明にもなってない。

>簡単でしょ？（＾＾；
はい、簡単に間違いと分りますｗ

>>266
>これを拡張して、R中のお好みの整列部分集合Sを先に取り出して、残り R＼Sを整列させることで
>R中のお好みの整列部分集合Sと、残りのR＼Sを整列させた整列集合とをつないだ 整列集合が構成可能
妄想ｗ

>トリビアだが面白いでしょ
つまらん初歩的間違い

>この程度の頭の体操ができないようじゃ
>地頭悪いよね、サル二匹（＾＾；
こんなのが間違いと即座に分らないようではこのサル地頭悪いにも程がある

実際サルは>>187の質問から逃げた。

トンデモの共通点　持論を語るに多弁だが、急所を突く質問には沈黙ｗ

>>266 補足

順序には、いろんな流儀がある
下記、整数Zで「0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...」とすれば、整列にできる

あるいは「例 13.2 自然数 x, y ∈ N に対して, x ≧ y のとき x ≦' y と定義すれば, 全順序
集合 (N, ≦') が得られる 要は,. . . 4 3 2 1
のように, 自然数を通常とは逆順に並べることに相当する. この配列には min N
が存在しないから, (N, ≦') は整列集合ではない.」

あるいは、「例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合になる. 」って

（>>161）
http://paiotunoowari.hatenadiary.jp/entry/2015/12/03/133610
整列可能定理 2015-12-03 ぱいおつ日記
ひかるさんのアドベントカレンダー企画の3日目の記事です.
(抜粋)
Nは普通の大小関係で整列集合になってます.
Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.
こんなふうに,ある順序で整列集合でないような集合でも別の順序では整列集合になっていたりします.
(引用終り)

（>>163-164）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
第13章 整列集合 : 2018/6/21 東北大 尾畑研

例 13.2 自然数 x, y ∈ N に対して, x ≧ y のとき x ≦' y と定義すれば, 全順序
集合 (N, ≦') が得られる要は,
. . . 4 3 2 1
のように, 自然数を通常とは逆順に並べることに相当する. この配列には min N
が存在しないから, (N, ≦') は整列集合ではない.

例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,
1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合に
なる.
(引用終り)
以上

>>273
>例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
>え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
>に関して自然数を書き並べれば,
>1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
>のような配列が得られる.
得られません。
得られると言うなら2の前者を答えて下さい。

あらら、サルが東北大 尾畑研の資料を否定するかね
勿論、数学だから、それもありだけど
よく考えた方が良いと思うぞ

>>273 補足
（>>163-164）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
第13章 整列集合 : 2018/6/21 東北大 尾畑研

13.1 整列集合
順序集合 (X, ?) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
合であるといい, そのような順序を整列順序という. 定義から整列集合は必ず全
順序集合であることに注意しよう.

例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,
1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合になる.
(引用終り)

この例 13.4 に倣って、実数Rを集合AとBに分ける
R＝A∪B、A∩B＝Φ（空集合、つまり重なり無し）とする
集合AとB、それぞれに整列可能定理を適用して、二つの順序列を得る

書き並べれば,
a1,a2,a3・・・b1,b2,b3・・・
のような配列が得られる.

上記同様に、集合A同士, 集合B同士ではそれぞれの順序を考え,
集合Aと集合Bでは、集合Aの方が小さいとする順序関係 ≦’ を導入したことに相当する
これで、「空でない部分集合が、必ず最小元をもつ」を満たせる

さて、>>266の話は、上記の系として
集合Aを1点 r∈Rとしたり
あるいは、
集合Aを”R中のお好みの整列部分集合S”と置いたことに相当する

トリビアだが面白いでしょ（＾＾；
以上

>>275
なになに大学とかなになに研とかどーでもいーから、早く２の前者を答えて下さいね
コピペしただけ？コピペしたのはあなたですよね？他者に責任を擦り付けないで下さいね

>>275
>よく考えた方が良いと思うぞ
よく考えて２の前者を答えて下さいね
配列が得られるんでしょ？なら２の前者が定まってるんですよね？

>>276
>この例 13.4 に倣って、実数Rを集合AとBに分ける
倣うならまず２の前者を答えないとｗ
答えられないなら倣っちゃダメだろｗ
なにすっとぼけてんだかｗ

コピペサルに数学は無理なので諦めましょうね

>>276
>書き並べれば,
>a1,a2,a3・・・b1,b2,b3・・・
>のような配列が得られる.
じゃあ0の次の実数を答えて下さい。
配列が得られるんですよね？なら0の次も定まってるんですよね？

まーた法則発動ですかあー？

トンデモの共通点　持論を語るに多弁だが、急所を突く質問には沈黙ｗ

>>276
>トリビアだが面白いでしょ（＾＾；
つまらん初歩的間違い

>>276 訂正

順序集合 (X, ?) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
　↓
順序集合 (X, ≦) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集

文字化けしている
原文を見れば分かる話だが
なお、≦は本当は、ちょっと違う順序記号なのです
この板では、数学記号の多くが文字化けするのです（＾＾；

だけど、サルは無限列が理解できていないぞ
それでは、無限列車編が理解できないぞ、てへ ｗ（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%87%E5%A0%B4%E7%89%88_%E9%AC%BC%E6%BB%85%E3%81%AE%E5%88%83_%E7%84%A1%E9%99%90%E5%88%97%E8%BB%8A%E7%B7%A8
『劇場版「鬼滅の刃」無限列車編』（げきじょうばん きめつのやいば むげんれっしゃへん）は、2020年に公開された日本の長編アニメーション映画。現在、日本歴代興行収入第1位[1]。2020年の年間興行収入世界第1位[2]。

>>284 補足
>だけど、サルは無限列が理解できていないぞ

無限列が理解できていないってことは
コーシー列も理解できていないし
時枝（不成立 >>255）も理解できないだろうね

それで、数学科修士卒を自慢するんだ（＾＾
すごいね
まあ、5ｃｈではなんでもありだよねｗ（＾＾；

>>284
>だけど、サルは無限列が理解できていないぞ
はい、その通り。
理解できてるなら２の前者から逃げ続ける必要無いですからね。

>>285
>無限列が理解できていないってことは
>コーシー列も理解できていないし
>時枝（不成立 >>255）も理解できないだろうね
はい、時枝理解できてないですね。
無限列にも最後の項があると妄想してる間は理解できないでしょう。

>まあ、5ｃｈではなんでもありだよねｗ（＾＾；
ですね。
大学一年4月で落ちこぼれた落ちこぼれが数学語っちゃうんですから。

>>276
追加参考

http://www.aoni.waseda.jp/sadayosi/index-j.html
小島 定吉（こじまさだよし）
http://www.aoni.waseda.jp/sadayosi/course/past/
最終訂正日 4/26/2018
過去の担当講義
http://www.aoni.waseda.jp/sadayosi/course/past/set09.html
最終訂正日 7/23/09
集合と位相第一
講義担当者
教授 : 小島 定吉
講義ノート
1.1 PDF
1.2 PDF
1.3 PDF
1.4 PDF（← これ）
2.1 PDF

http://www.aoni.waseda.jp/sadayosi/course/past/set09/section1.4.pdf
1.4 整列集合とツォルンの補題 小島 定吉 2009 早稲田

1.4.3 ツォルンの補題

4. 定理 1.10（ツェルメロの整列定理）：X を任意の集合とするとき，その上にある順
序 ≦ を定義して (X, ≦) が整列集合になるようにすることができる．
5. 証明：X の部分集合 A と，その上の整列順序 o の対の全体のなす集合
O = {(A, o) ; A ⊂ X, (A, o) は整列集合 }
(A, o),(B, p) ∈ O に対し，前者が後者の切片であるとき
(A, o) < (B, p)
により順序を定める．任意の全順序部分集合 S ⊂ O に対して
(So, po) = ∪(S,p)∈S(S, p)
とおけば，(So, po) ∈ O かつ (So.po) = sup S となる．したがってツォルンの補題か
らある極大元 (Ao, oo) が存在する．
あとは Ao = X を示せばよい．x ∈ X - Ao に対して
A?o = Ao ∪ {x}, 任意の a ∈ Aoに対し a < x
とすると，(A?o, ?o) は整列集合で (Ao, o) < (A?o, ?o)．これは矛盾．

6. 定理 1.11：整列定理を仮定すると選択公理が成立する．
7. 証明：{Aλ}λ∈Λ を Λ によって添え字付けられた集合族で，すべての λ に対して
Aλ ≠ Φ であるとする．
X =∪λ∈ΛAλ
とおくと，すべて λ に対して Aλ ⊂ X．そこで X に一つ整列順序を指定し，
aλ =min Aλ とおけば，(aλ)λ∈Λ は
?λ∈Λ Aλ の元．
(引用終り)
以上

>>288
追加 （上記もそうだが、数学記号がしばしば文字化けする。適当に改変しているが、しきれてない場合が多い。原文を見るのが一番です（＾＾；　）

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
Akito Tsuboi's Home Page

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
大学院（数学専攻）関連
講義ノート12年版（１学期）←これ
講義ノート12年版（２学期）
講義ノート12年版（３学期）

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/gra/lecturenote(12).pdf
数理論理学Ｉ
Mathematical Logic I
12 年 講義ノート（１学期）

1 基礎知識
1.1 順序数
定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の
空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．

注意 2
1. 整列順序集合 X は全順序集合である．
2. 順序集合 X が整列なることは次の条件 (a)+(b) と同値：
(a) X が全順序集合である．
(b) X は無限下降列を持たない．

注意 5
1. 整列順序集合と整列順序集合の和は再び整列順序集合とな
る．このことから順序数と順序数の和が定義される．
2. 1 + ω は 1 個の点の後ろに自然数のなす順序集合を並べた順序の順
序型．よってそれは順序型としては ω になる．1 + ω = ω.
3. ω + 1 は自然数の後に１点（無限遠点）を付け足した順序の順序型．
これは ω と異なる．
4. 順序数の和は非可換であるが，結合律は成立する．

つづく

>>289
つづき

1.2 濃度と基数
A を集合とする．このとき整列可能性定理により，適当な順序 < を A
上に定義することにより，A = (A, <) を整列順序集合とできる．このこ
とを別の角度で見ると，ある順序数 α によって
A = {ai: i < α}
と番号付けられることを意味している．A = {ai: i < α} とできる順序数
α の中で最小のものが存在する．これを A の濃度といい |A| で表す．ある
集合の濃度となる順序数（|A| の形の順序数）を基数という．基数は集合
の大きさを測る指標となる．基数は κ, λ などで表す．
定義 8 κ と λ を基数とする．A, B を κ = |A|, λ = |B|, A ∩ B = Φ なる
集合とする．このとき，
1. κ + λ = |A ∪ B|,
2. κ ・ λ = |A × B|
で基数の和と積を定義する．
注意 11
1. 上の定義は A, B の取り方に依存しない．
2. 有限の順序数（自然数）は基数であり，これらの間の和と積は自然
数の和と積に一致する．
3. 順序数の和と基数の和は異なる．例えば基数の和として，1 + ω =ω + 1 = ω である．
4. κ, λ のいずれか一方が無限のとき，κ + λ = κ ・ λ = max{κ, λ}.
(引用終り)
以上

>>289
(引用開始)
1 基礎知識
1.1 順序数
定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の
空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．

注意 2
1. 整列順序集合 X は全順序集合である．
2. 順序集合 X が整列なることは次の条件 (a)+(b) と同値：
(a) X が全順序集合である．
(b) X は無限下降列を持たない．
(引用終り)

＜補足＞
サルは勘違いしているらしいが
「定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．」
が先にあって、まず、ここを理解しないと（＾＾

で、「注意 2
2. 順序集合 X が整列なることは次の条件 (a)+(b) と同値：
(a) X が全順序集合である．
(b) X は無限下降列を持たない．」
が出るのです

無限上昇列があっても、
それが全順序、かつ”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”
の二つの条件を満たせば、
それは”整列 (well-ordered) ”なのです（＾＾；
以上

>>252
チャット君　🐎🦌の一つ覚えのリーマン球面ｗｗｗ

実数論もわからん🐎🦌のチャット君に
複素関数論が理解できるわけないだろｗｗｗ

>>291 補足

「それが全順序、かつ”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”」

（補足）
”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”
ことから
「全順序」を示せる
（どっかに書いてあって、過去レスで引用している）
なので、「全順序、かつ」は本当はいらないのです（＾＾；