純粋・応用数学（含むガロア理論）8

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学（含むガロア理論）7
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1618711564/

＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1-
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 54
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617170015/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/

>>179
戻る
(引用開始)
>>177
>選択公理を仮定すれば最小の正実数が存在するだって？0点で落第ですｗ
”最小の正実数が存在する”は、可能じゃない？（＾＾

下記の”Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.”
が許されるなら。かつ、整列可能定理を認めるならば
「任意のある実数 r∈R を取って、rを最小とする実数Rの整列順序が可能」でしょ？
(引用終り)

答を書いておく
１．任意のある実数 r∈R を取って、残りはR’＝R＼r (注：Rからrを取り除いた集合)とする
２．R’を整列可能定理で整列させる
３．rを最小と定義し、それより大きい整列集合として、R’の整列集合をつなぐ
４．こうすれば、「任意のある実数 r∈R を取って、rを最小とする実数Rの整列順序が可能」
QED

簡単でしょ？（＾＾；
これを拡張して、R中のお好みの整列部分集合Sを先に取り出して、残り R＼Sを整列させることで
R中のお好みの整列部分集合Sと、残りのR＼Sを整列させた整列集合とをつないだ 整列集合が構成可能

トリビアだが面白いでしょ
この程度の頭の体操ができないようじゃ
地頭悪いよね、サル二匹（＾＾；

>>259

訂正
ｙは自然数で、ｚはその逆数だったから
　↓
ｚは自然数で、ｙはその逆数だったから

だな
逆に書いていた（＾＾；

>>267 追加
下記 Riemann surface、g(z) = 1 / z、 ”called the Riemann sphere ”
だってよ

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface
Riemann surface

Examples
・Let S = C ∪ {∞} and let f(z) = z where z is in S \ {∞} and g(z) = 1 / z where z is in S \ {0} and 1/∞ is defined to be 0. Then f and g are charts, they are compatible, and { f, g } is an atlas for S, making S into a Riemann surface. This particular surface is called the Riemann sphere because it can be interpreted as wrapping the complex plane around the sphere. Unlike the complex plane, it is compact.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%9D%A2
リーマン面

複素解析においてリーマン面（Riemann surface）とは、連結な複素 1 次元の複素多様体のことである。ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられた。 リーマン面は、複素平面を変形したものと考えられる。 各点の近くで局所的には、複素平面の部分に似ているが、大域的位相は大きく異なり得る。例えば、球面、トーラス、または互いに糊付けした二枚の面のように見え得る。

リーマン面の主要な意味合いは、正則関数がそこで定義できることである。 今日、リーマン面は正則関数、特に、平方根や自然対数等の多価関数の大域的振る舞いを研究するための自然な土台と考えられている[1][2]。

全てのリーマン面は向きづけ可能な実 2 次元の実解析的多様体（従って曲面）であって、正則関数を一義的に定義するために必要な追加的構造（特に複素構造）を含む。2 次元実多様体は、それが向き付け可能な場合、かつその場合に限り、（通常は、等価でない複数の方法により）リーマン面にすることができる。従って、球面やトーラスは複素構造を持ち得るが、メビウスの輪、クラインの壺および射影平面は持ち得ない。

リーマン面は、でき得る限り良い特性を有しているという幾何学的事実から、他の曲線、多様体または代数多様体に対し一般化の直感および動機をしばしばもたらす。リーマン・ロッホの定理は、この影響の第一の例である。
(引用終り)
以上

>>266
>１．任意のある実数 r∈R を取って、残りはR’＝R＼r (注：Rからrを取り除いた集合)とする
>２．R’を整列可能定理で整列させる
おまえの主張「ωの∈無限降下列 ω∋・・・∋1∋0 が存在する。」の∈に対応する順序関係は通常の大小関係。
一方整列可能定理は通常の大小関係で整列集合にできると謳ってないｗ
よって無意味ｗ

>３．rを最小と定義し、それより大きい整列集合として、R’の整列集合をつなぐ
ダメ。
2.のR'の整列順序をRに適用したときにrがRの最小元でなければならない。
おまえのは上記整列順序と無関係にrを最小と定義しているためそうなってない。
馬鹿過ぎｗ

>４．こうすれば、「任意のある実数 r∈R を取って、rを最小とする実数Rの整列順序が可能」
大間違い。

>QED
何の証明にもなってない。

>簡単でしょ？（＾＾；
はい、簡単に間違いと分りますｗ

>>266
>これを拡張して、R中のお好みの整列部分集合Sを先に取り出して、残り R＼Sを整列させることで
>R中のお好みの整列部分集合Sと、残りのR＼Sを整列させた整列集合とをつないだ 整列集合が構成可能
妄想ｗ

>トリビアだが面白いでしょ
つまらん初歩的間違い

>この程度の頭の体操ができないようじゃ
>地頭悪いよね、サル二匹（＾＾；
こんなのが間違いと即座に分らないようではこのサル地頭悪いにも程がある

実際サルは>>187の質問から逃げた。

トンデモの共通点　持論を語るに多弁だが、急所を突く質問には沈黙ｗ

>>266 補足

順序には、いろんな流儀がある
下記、整数Zで「0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...」とすれば、整列にできる

あるいは「例 13.2 自然数 x, y ∈ N に対して, x ≧ y のとき x ≦' y と定義すれば, 全順序
集合 (N, ≦') が得られる 要は,. . . 4 3 2 1
のように, 自然数を通常とは逆順に並べることに相当する. この配列には min N
が存在しないから, (N, ≦') は整列集合ではない.」

あるいは、「例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合になる. 」って

（>>161）
http://paiotunoowari.hatenadiary.jp/entry/2015/12/03/133610
整列可能定理 2015-12-03 ぱいおつ日記
ひかるさんのアドベントカレンダー企画の3日目の記事です.
(抜粋)
Nは普通の大小関係で整列集合になってます.
Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.
こんなふうに,ある順序で整列集合でないような集合でも別の順序では整列集合になっていたりします.
(引用終り)

（>>163-164）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
第13章 整列集合 : 2018/6/21 東北大 尾畑研

例 13.2 自然数 x, y ∈ N に対して, x ≧ y のとき x ≦' y と定義すれば, 全順序
集合 (N, ≦') が得られる要は,
. . . 4 3 2 1
のように, 自然数を通常とは逆順に並べることに相当する. この配列には min N
が存在しないから, (N, ≦') は整列集合ではない.

例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,
1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合に
なる.
(引用終り)
以上

>>273
>例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
>え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
>に関して自然数を書き並べれば,
>1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
>のような配列が得られる.
得られません。
得られると言うなら2の前者を答えて下さい。

あらら、サルが東北大 尾畑研の資料を否定するかね
勿論、数学だから、それもありだけど
よく考えた方が良いと思うぞ

>>273 補足
（>>163-164）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
第13章 整列集合 : 2018/6/21 東北大 尾畑研

13.1 整列集合
順序集合 (X, ?) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
合であるといい, そのような順序を整列順序という. 定義から整列集合は必ず全
順序集合であることに注意しよう.

例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,
1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合になる.
(引用終り)

この例 13.4 に倣って、実数Rを集合AとBに分ける
R＝A∪B、A∩B＝Φ（空集合、つまり重なり無し）とする
集合AとB、それぞれに整列可能定理を適用して、二つの順序列を得る

書き並べれば,
a1,a2,a3・・・b1,b2,b3・・・
のような配列が得られる.

上記同様に、集合A同士, 集合B同士ではそれぞれの順序を考え,
集合Aと集合Bでは、集合Aの方が小さいとする順序関係 ≦’ を導入したことに相当する
これで、「空でない部分集合が、必ず最小元をもつ」を満たせる

さて、>>266の話は、上記の系として
集合Aを1点 r∈Rとしたり
あるいは、
集合Aを”R中のお好みの整列部分集合S”と置いたことに相当する

トリビアだが面白いでしょ（＾＾；
以上

>>275
なになに大学とかなになに研とかどーでもいーから、早く２の前者を答えて下さいね
コピペしただけ？コピペしたのはあなたですよね？他者に責任を擦り付けないで下さいね

>>275
>よく考えた方が良いと思うぞ
よく考えて２の前者を答えて下さいね
配列が得られるんでしょ？なら２の前者が定まってるんですよね？

>>276
>この例 13.4 に倣って、実数Rを集合AとBに分ける
倣うならまず２の前者を答えないとｗ
答えられないなら倣っちゃダメだろｗ
なにすっとぼけてんだかｗ

コピペサルに数学は無理なので諦めましょうね

>>276
>書き並べれば,
>a1,a2,a3・・・b1,b2,b3・・・
>のような配列が得られる.
じゃあ0の次の実数を答えて下さい。
配列が得られるんですよね？なら0の次も定まってるんですよね？

まーた法則発動ですかあー？

トンデモの共通点　持論を語るに多弁だが、急所を突く質問には沈黙ｗ

>>276
>トリビアだが面白いでしょ（＾＾；
つまらん初歩的間違い

>>276 訂正

順序集合 (X, ?) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
　↓
順序集合 (X, ≦) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集

文字化けしている
原文を見れば分かる話だが
なお、≦は本当は、ちょっと違う順序記号なのです
この板では、数学記号の多くが文字化けするのです（＾＾；

だけど、サルは無限列が理解できていないぞ
それでは、無限列車編が理解できないぞ、てへ ｗ（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%87%E5%A0%B4%E7%89%88_%E9%AC%BC%E6%BB%85%E3%81%AE%E5%88%83_%E7%84%A1%E9%99%90%E5%88%97%E8%BB%8A%E7%B7%A8
『劇場版「鬼滅の刃」無限列車編』（げきじょうばん きめつのやいば むげんれっしゃへん）は、2020年に公開された日本の長編アニメーション映画。現在、日本歴代興行収入第1位[1]。2020年の年間興行収入世界第1位[2]。

>>284 補足
>だけど、サルは無限列が理解できていないぞ

無限列が理解できていないってことは
コーシー列も理解できていないし
時枝（不成立 >>255）も理解できないだろうね

それで、数学科修士卒を自慢するんだ（＾＾
すごいね
まあ、5ｃｈではなんでもありだよねｗ（＾＾；

>>284
>だけど、サルは無限列が理解できていないぞ
はい、その通り。
理解できてるなら２の前者から逃げ続ける必要無いですからね。

>>285
>無限列が理解できていないってことは
>コーシー列も理解できていないし
>時枝（不成立 >>255）も理解できないだろうね
はい、時枝理解できてないですね。
無限列にも最後の項があると妄想してる間は理解できないでしょう。

>まあ、5ｃｈではなんでもありだよねｗ（＾＾；
ですね。
大学一年4月で落ちこぼれた落ちこぼれが数学語っちゃうんですから。

>>276
追加参考

http://www.aoni.waseda.jp/sadayosi/index-j.html
小島 定吉（こじまさだよし）
http://www.aoni.waseda.jp/sadayosi/course/past/
最終訂正日 4/26/2018
過去の担当講義
http://www.aoni.waseda.jp/sadayosi/course/past/set09.html
最終訂正日 7/23/09
集合と位相第一
講義担当者
教授 : 小島 定吉
講義ノート
1.1 PDF
1.2 PDF
1.3 PDF
1.4 PDF（← これ）
2.1 PDF

http://www.aoni.waseda.jp/sadayosi/course/past/set09/section1.4.pdf
1.4 整列集合とツォルンの補題 小島 定吉 2009 早稲田

1.4.3 ツォルンの補題

4. 定理 1.10（ツェルメロの整列定理）：X を任意の集合とするとき，その上にある順
序 ≦ を定義して (X, ≦) が整列集合になるようにすることができる．
5. 証明：X の部分集合 A と，その上の整列順序 o の対の全体のなす集合
O = {(A, o) ; A ⊂ X, (A, o) は整列集合 }
(A, o),(B, p) ∈ O に対し，前者が後者の切片であるとき
(A, o) < (B, p)
により順序を定める．任意の全順序部分集合 S ⊂ O に対して
(So, po) = ∪(S,p)∈S(S, p)
とおけば，(So, po) ∈ O かつ (So.po) = sup S となる．したがってツォルンの補題か
らある極大元 (Ao, oo) が存在する．
あとは Ao = X を示せばよい．x ∈ X - Ao に対して
A?o = Ao ∪ {x}, 任意の a ∈ Aoに対し a < x
とすると，(A?o, ?o) は整列集合で (Ao, o) < (A?o, ?o)．これは矛盾．

6. 定理 1.11：整列定理を仮定すると選択公理が成立する．
7. 証明：{Aλ}λ∈Λ を Λ によって添え字付けられた集合族で，すべての λ に対して
Aλ ≠ Φ であるとする．
X =∪λ∈ΛAλ
とおくと，すべて λ に対して Aλ ⊂ X．そこで X に一つ整列順序を指定し，
aλ =min Aλ とおけば，(aλ)λ∈Λ は
?λ∈Λ Aλ の元．
(引用終り)
以上

>>288
追加 （上記もそうだが、数学記号がしばしば文字化けする。適当に改変しているが、しきれてない場合が多い。原文を見るのが一番です（＾＾；　）

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
Akito Tsuboi's Home Page

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
大学院（数学専攻）関連
講義ノート12年版（１学期）←これ
講義ノート12年版（２学期）
講義ノート12年版（３学期）

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/gra/lecturenote(12).pdf
数理論理学Ｉ
Mathematical Logic I
12 年 講義ノート（１学期）

1 基礎知識
1.1 順序数
定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の
空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．

注意 2
1. 整列順序集合 X は全順序集合である．
2. 順序集合 X が整列なることは次の条件 (a)+(b) と同値：
(a) X が全順序集合である．
(b) X は無限下降列を持たない．

注意 5
1. 整列順序集合と整列順序集合の和は再び整列順序集合とな
る．このことから順序数と順序数の和が定義される．
2. 1 + ω は 1 個の点の後ろに自然数のなす順序集合を並べた順序の順
序型．よってそれは順序型としては ω になる．1 + ω = ω.
3. ω + 1 は自然数の後に１点（無限遠点）を付け足した順序の順序型．
これは ω と異なる．
4. 順序数の和は非可換であるが，結合律は成立する．

つづく

>>289
つづき

1.2 濃度と基数
A を集合とする．このとき整列可能性定理により，適当な順序 < を A
上に定義することにより，A = (A, <) を整列順序集合とできる．このこ
とを別の角度で見ると，ある順序数 α によって
A = {ai: i < α}
と番号付けられることを意味している．A = {ai: i < α} とできる順序数
α の中で最小のものが存在する．これを A の濃度といい |A| で表す．ある
集合の濃度となる順序数（|A| の形の順序数）を基数という．基数は集合
の大きさを測る指標となる．基数は κ, λ などで表す．
定義 8 κ と λ を基数とする．A, B を κ = |A|, λ = |B|, A ∩ B = Φ なる
集合とする．このとき，
1. κ + λ = |A ∪ B|,
2. κ ・ λ = |A × B|
で基数の和と積を定義する．
注意 11
1. 上の定義は A, B の取り方に依存しない．
2. 有限の順序数（自然数）は基数であり，これらの間の和と積は自然
数の和と積に一致する．
3. 順序数の和と基数の和は異なる．例えば基数の和として，1 + ω =ω + 1 = ω である．
4. κ, λ のいずれか一方が無限のとき，κ + λ = κ ・ λ = max{κ, λ}.
(引用終り)
以上

>>289
(引用開始)
1 基礎知識
1.1 順序数
定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の
空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．

注意 2
1. 整列順序集合 X は全順序集合である．
2. 順序集合 X が整列なることは次の条件 (a)+(b) と同値：
(a) X が全順序集合である．
(b) X は無限下降列を持たない．
(引用終り)

＜補足＞
サルは勘違いしているらしいが
「定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．」
が先にあって、まず、ここを理解しないと（＾＾

で、「注意 2
2. 順序集合 X が整列なることは次の条件 (a)+(b) と同値：
(a) X が全順序集合である．
(b) X は無限下降列を持たない．」
が出るのです

無限上昇列があっても、
それが全順序、かつ”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”
の二つの条件を満たせば、
それは”整列 (well-ordered) ”なのです（＾＾；
以上

>>252
チャット君　🐎🦌の一つ覚えのリーマン球面ｗｗｗ

実数論もわからん🐎🦌のチャット君に
複素関数論が理解できるわけないだろｗｗｗ

>>291 補足

「それが全順序、かつ”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”」

（補足）
”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”
ことから
「全順序」を示せる
（どっかに書いてあって、過去レスで引用している）
なので、「全順序、かつ」は本当はいらないのです（＾＾；

>>291
>サルは勘違いしているらしいが
>「定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．」
>が先にあって、まず、ここを理解しないと（＾＾
>で、「注意 2
>2. 順序集合 X が整列なることは次の条件 (a)+(b) と同値：
>(a) X が全順序集合である．
>(b) X は無限下降列を持たない．」
>が出るのです
>無限上昇列があっても、
>それが全順序、かつ”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”
>の二つの条件を満たせば、
>それは”整列 (well-ordered) ”なのです（＾＾；
サルはいったい誰と会話してるの？ｗ
妄想障害？

>>291
サルは質問に答えられず発狂してるの？
妄想が酷いよ？

>>291
チャット君こそ勘違いしてるが

「無限上昇列」があっても、その列のどの要素も
有限回の降下で最小元に行きつくなら
無限下降列を持ちえない

ついでにいうと
「定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，
　任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．」
の「最小元」はNでいうところの０のことだと思ってるなら大誤解

Ｎのどんな部分集合も最小元を持つ、という意味
たとえばＮの２より大きな部分集合なら最小元は３だ

ＱやＲで同じことやったら確実に失敗する
２より大きな部分集合に最小元はないからなｗ

ついでにいうと、Ｎでも、Ｎ∪{ω｝でも
＜を＞にひっくり返した場合、整列集合でなくなる
０＞１＞２＞・・・　は無限降下列になるから

>>291 >>293 追加

ここの理解がおぼつかないようじゃ
時枝記事（>>255）の理解もおぼつかない
飛行機に乗って、北極点へ行けｗｗ（＾＾；

>>293
＞”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”
＞ことから「全順序」を示せる

示せねぇよ、🐎🦌ｗｗｗ

整礎関係
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82

「集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、
　X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう。」

「全順序でない」整礎関係の例ｗｗｗｗｗｗｗ

・正整数全体 {1, 2, 3, ...} に a < b ⇔ [a は b を割り切る かつ a ≠ b] となる順序を入れたもの。
・固定された文字集合上の有限文字列全体に s < t ⇔ s は t の真の部分文字列である、で定まる順序。
・自然数の順序対全体の集合 N × N 上の、(n1, n2) < (m1, m2) ⇔ n1 < m1 かつ n2 < m2 となる順序。
・固定された文字集合上の正規表現全体の成す集合に、s < t ⇔ s は t の真の部分表現であるとして定義される関係。
・集合を要素とする任意のクラスの集合要素関係 ∈ 。これは正則性公理そのものである。
・任意の有限有向非輪状グラフのノード全体の、a R b ⇔ a から b へいく辺があるとして定義される関係。

>>297
整礎関係と整列順序がおぼつかない🐎🦌は
チャット、貴様だよキ・サ・マｗｗｗｗｗｗｗ

全順序と整礎関係は、全然独立
そして
全順序　かつ　整礎関係　であるとき
そのときに限り　整列順序　という

覚えとけ！！！　🐎🦌チャットｗｗｗｗｗｗｗ

サルが逃げ続けてる問いのレス番号
41
62
64
69
78
114
191
223
257
274
281

こりゃ酷いね。よく数学板に居られるね。恥ずかしくないのかな？サルだから恥の概念が無いのか。

＞正整数全体 {1, 2, 3, ...} に
＞a < b ⇔ [a は b を割り切る かつ a ≠ b]
＞となる（半）順序を入れたもの。

上記の半順序で
１２＞６＞３＞１
１２＞４＞２＞１

一方　６は４で割り切れず　４も６で割り切れないから
上記の半順序では６＞４でも４＞６でもない！
つまり、全順序ではない！！！

♪負けた　負けた　また負けた
　お🐎🦌のチャットが　また負けた

>>293
＞「全順序、かつ」は本当はいらないのです（＾＾；

>>298　>>301で　小学生にもわかる例でロンパ―スしましたが、なにか？ｗ

結局サルはコミュニケーションができないんだな
こちらの問いを無視し続け一方的に独善主張するだけのオナニーマシン
一度オナニーを覚えると死ぬまでやめられないサルｗ

チャット君は、ホントに変態数学の宝庫だなｗｗｗｗｗｗｗ
次から次へと初歩的な誤りをやらかしてくれるｗｗｗｗｗｗｗ

大阪大学卒の秀才じゃなく大阪朝鮮学校卒のヤンキーだからしゃあないな

さっさと鶴橋の焼肉屋「高麗」は閉めて、ピョンヤンに帰れ　

>>303
そもそも我々　列島人は半島人と同じコミューンに属してないからなｗ

>>298 >>301
サルの妄想と違い具体例を示す、流石です。

具体例を出されたらサルまた発狂して妄想連発するでしょうね

>>291 補足の補足
(引用開始)
定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の
空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．
注意 2
1. 整列順序集合 X は全順序集合である．
2. 順序集合 X が整列なることは次の条件 (a)+(b) と同値：
(a) X が全順序集合である．
(b) X は無限下降列を持たない．
(引用終り)

坪井先生も、「無限下降列」の定義をしていない。定義が面倒なんだろうねｗ（＾＾
下記の長澤まさみ「虫コナーズ」風に言えば
「この世界には、真の”無限下降列”と真の”無限下降列”やない”無限下降列”的なもんがあんねん」ｗ

さていま、全順序の無限列Xがあるとする
Xの任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つとき
それは、真の”無限下降列”やない”無限下降列”的なもんですやんｗ

Xの任意の空でない A ⊂ X で、最小元を持たないAが存在するときこそ
真の”無限下降列”なんですよｗ（＾＾；

（参考）
https://xtrend.nikkei.com/atcl/contents/18/00143/00030/
売れる！CMキャラクター探偵団　第28回
長澤まさみの関西弁は、CMを邪魔者にしないKINCHOの決意
2020年07月10日 読了時間：5分
北川 聖恵 ライター
https://cdn-xtrend.nikkei.com/atcl/contents/18/00143/00030/01.jpg
部屋の窓につり下げられた「虫コナーズ」を見上げながらおもむろに、「この世界には、虫コナーズと虫コナーズやない虫コナーズ的なもんがあんねん」と弟（仲野太賀）に関西弁で話しかける、蚊取り線香のような色のワンピースを着た長澤まさみ。

「浜田さんのお宅はずーっと虫コナーズ的なもんをぶらさげてた」と続ける長澤に、「ふーん」と先を促す弟。「でも今年初めて虫コナーズをぶら下げた」と語気を荒らげる長澤。「ほう！」と弟が応えれば、少し間を置き、「勝った……」と長澤は満足げな表情を見せる。思わず「何に？」と弟。

https://www.youtube.com/watch?v=GY_cidVLG1M
(1分) 長澤まさみ キンチョー 虫コナーズ 「初めてぶらさげた人」篇 & 「無防備」篇 TVCM
57,633 回視聴?2020/05/22 taku iwai チャンネル登録者数 631人
(引用終り)
以上

サルは「すべての」をナイーブに使い過ぎ。実はサルの根本的誤解がこの言葉遣いに表れている。
数学書を読めば分かるが、ほぼ「任意の」が使われている。
この二つの違いが分るか？サルには無理だろうな。だってサルだもの。（みつを）

>>293
(引用開始)
「それが全順序、かつ”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”」
（補足）
”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”
ことから
「全順序」を示せる
（どっかに書いてあって、過去レスで引用している）
なので、「全順序、かつ」は本当はいらないのです（＾＾；
(引用終り)

バカな おサルが騒いでいるな
証明は下記な（＾＾
院試答案なら意識しようね
一言書いてもいい。「整列順序集合 X は全順序集合である」とか

（>>163より）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
第13章 整列集合 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
13.1 整列集合
順序集合 (X, ≦) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
合であるといい, そのような順序を整列順序という. 定義から整列集合は必ず全
順序集合であることに注意しよう. 実際, a, b ∈ X に対して集合 {a, b} は X の
空でない部分集合になるから, それは最小元をもつ. 最小元は a または b であ
るが, それが a であれば a ≦ b となるし, それが b であれば b ≦ a となる.
これは, 任意の a, b ∈ X が比較可能であることを意味し, X は全順序集合である
ことがわかる.
(引用終り)

ご丁寧に証明を付けてある（多分学部用だから）（＾＾

一方、坪井先生
(>>289より)
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
Akito Tsuboi's Home Page
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
大学院（数学専攻）関連
講義ノート12年版（１学期）←これ
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/gra/lecturenote(12).pdf
数理論理学Ｉ
Mathematical Logic I
12 年 講義ノート（１学期）
1 基礎知識
1.1 順序数
定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の
空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．
注意 2
1. 整列順序集合 X は全順序集合である．
(引用終り)

と、一言のご注意で済ませている。大学院だからか
以上

>>307　>>309
チャット君

順序集合の定義知らずに
漫然とコピペしても
🐎🦌になるだけだよｗｗｗ

チャットは●ねばいいのに

生きてても意味ないだろ

>>309 補足

下記ja.wikipedia 冒頭の「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである」
が良くない
en.wikipediaでは”a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S.”
と、”has a minimal element”を主に書いてある。これが正解だね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。

定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。（関係 R がさらに集合的であることを仮定する著者もいる[2]。X が集合であればこれは自動的に成り立つ。）
つまり、S の元 m であって、S の任意の元 s に対して対 (s, m) は R に属さないようなものが存在する。式で書けば
∀ S⊆ X (S≠Φ → ∃ m∈ S ∀ s∈ S(s,m)not∈ R).
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。

順序集合論（英語版）では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。

つづく

>>312
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
Well-founded relation

"Noetherian induction" redirects here. For the use in topology, see Noetherian topological space.
Binary relations
In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀S⊆ X)[S≠ Φ ⇒ (∃ m∈ S)(∀ s∈ S)¬ (sRm)].
Some authors include an extra condition that R is set-like, i.e., that the elements less than any given element form a set.

Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]

In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order.

In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.

A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if the converse relation R?1 is well-founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition. In the context of rewriting systems, a Noetherian relation is also called terminating.

(引用終り)
以上

>>312 補足
なお、
順序で、極小、最小の差、よく認識しましょうね
下記は、極大と最大の差ですが、双対です（＾＾
「極大元の概念と最大元の概念は以下の点で異なる。まず x が A の極大元であるとは、A の元は「x 以下である」か、もしくは「x とは大小が比較不能である」かのいずれかである事を意味する。一方 x が A の最大元であるとは A の元は常に x 以下である事を意味する（このとき x は A の任意の元と比較が可能である）。したがって最大元は必ず極大元であるが、極大元は必ずしも最大元であるとは限らない。」
おサルには、難しいのかな？（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
順序集合

ハッセ図
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg/1280px-Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg.png
三元集合 {x, y, z} の部分集合の全体を包含関係を順序とする順序集合と見たときのハッセ図

具体例
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Hasse_diagram_of_powerset_of_3_no_greatest_or_least.svg/1920px-Hasse_diagram_of_powerset_of_3_no_greatest_or_least.svg.png
三元集合の冪集合のハッセ図から最大元と最小元を取り除いたもの。この図の一番上の行にある各元がこの半順序の極大元であり、一番下の行の各元は極小元である。最大元と最小元はない。集合 {x, y} は元の族 {{x}, {y}} に対する上界を与える。

上界、最大、極大、上限、上方集合
P を半順序集合とし、A をその部分集合とし、x を P の元とする。このとき上界、上限、最大、極大の概念、およびこれらの双対概念である下界（かかい）、下限、最小、極小は以下のように定義される：

つづく

>>314
つづき

定義
・x が A の下界 (lower bound) であるとは、A の任意の元 y に対して y ? x となること。
・x が A の下限 (infimum) あるいは最大下界 (greatest lower bound) であるとは、x が A の下界全体の集合の最大元となること。これは存在すれば一意的に決まり、inf A あるいは glb A と表される。
・x が A の最小元 (minimum element) であるとは、x は A の元であり、かつ x は A の下界であること。これは存在すれば一意的に決まり、min A で表される。
・x が A の極小元 (minimal element) であるとは、x は A の元であり、かつ y < x を満たす y ∈ A が存在しないこと。
上界および上限の定義において、 x が必ずしも A の元であるとは限らない、ことには注意が必要である。
極大元の概念と最大元の概念は以下の点で異なる。まず x が A の極大元であるとは、A の元は「x 以下である」か、もしくは「x とは大小が比較不能である」かのいずれかである事を意味する。一方 x が A の最大元であるとは A の元は常に x 以下である事を意味する（このとき x は A の任意の元と比較が可能である）。したがって最大元は必ず極大元であるが、極大元は必ずしも最大元であるとは限らない。
(引用終り)
以上

屁理屈はいいから
ωの∈無限下降列 ω∋…∋1∋0 が存在すると言うならωのすぐ右は何？
さっさと答えようね？
なんで逃げ続けるの？

さっさと答えろ、愚図るな、おまえは三歳児か

>>312-315
整礎なら全順序、とか、口からデマカセいって
間違いだと指摘されても理解できないサルは●ねよ

生きる価値ねえだろ　クソが

>>316
＞ωの∈無限下降列 ω∋…∋1∋0 が存在すると言うならωのすぐ右は何？

只の点列を無限降下列だといいはって
違いすら理解できない🐎🦌のチャットは●ねよ

生きる価値ねえだろ　クソが

>>317
>おまえは三歳児か
チャットは赤ん坊以下

ほんと●んでくんねぇかな　思考能力ゼロの畜生は

メモ 集積点（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点
集積点（英: accumulation point）あるいは極限点（英: limit point）は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念。（X の位相に関する x の任意の近傍が x 自身を除く S の点を含むという意味で）S によって「近似」できる X の点 x を S の集積点と呼ぶ。このとき、集積点 x は必ずしも S の点ではない。たとえば実数 R の部分集合 S = { 1/n | n ∈ N } を考えたとき点 0 は S の（唯一の）集積点である。集積点の概念は極限の概念を適切に一般化したもので、閉集合や閉包といった概念を下支えする。実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点を全て含むことは同値で、集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作としても捉えられる。

任意の有限区間または有界区間はそれが無限個の点を含むならば最少で一つの集積点を含む必要がある。しかし、さらに有界区間が無限個の点とただ一つの集積点を含むならば、区間内の任意の無限列がその唯一の集積点に収束する。

定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す。

この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である（この条件は、もとの定義が「開近傍」を用いて集積点の判定を行うところを、開に限らない「一般の近傍」を使って行うことができるので、しばしば有用である）。

あるいは空間 X がフレシェ・ウリゾーン空間の場合には、x ∈ X が S の集積点であるための必要十分条件は、x を極限に持つような S ? {x} の可算列が存在することである。それゆえ x は極限点と呼ばれる。

ネットの概念は点列の概念を一般化したもので、ネットに関する密集点の概念は凝集点と ω-集積点の概念をともに一般化するものになっている。集積および集積点の概念は同じようにフィルターに対しても定義することができる。

点列の密集点全体の成す集合は、しばしば極限集合と呼ばれる。
(引用終り)
以上

>>322
おっと、ωは自然数じゃないから
拡張自然数N’とでも書いた方が
分かり易かったかな？（＾＾；

それでいつになったらωの次を答えるの？
早く答えろ、愚図るな、三歳児かおまえは

>>237 補足
(引用開始)
簡単な例で補足説明するよ（＾＾
1．自然対数の底e は、超越数で、下記のように 「e=exp 1=Σn=0〜∞ {1/n!}」という簡単な級数の表現を持つ
2．極限を使って書くと、lim n→∞ (Σn=0〜n {1/n!})=exp 1=e である
3．いま、ノイマンの自然数構成を認めて、N＝ω（最小の極限順序数）としよう
4．集合Nは、全ての自然数を含む。つまりN={0,1,2・・n・・}であり、繰り返すが全ての自然数を含む
5．上記の集積点：「極限の概念を適切に一般化したもの」に倣って説明する
6．eは超越数だから、上記 (Σn=0〜n{1/n!})は、有限で終わっては有理数にしかならない
　つまり lim n→∞ で、nが集積点 ∞ ＝N＝ω に到達したときに、e= 2.718281828… なる超越数が得られる
ここらの微妙な話があって
同じことは、無限小数 0.999・・・にも言えるのです
(引用終り)

＜補足説明＞
e=exp 1=Σn=0〜∞ {1/n!}を丁寧に書く
(mまでの和 em=Σn=0〜m {1/n!}、mまでの集合 Sm={0,1,2・・m}とする)
下記のような対応表になる

0　e0=1 S0={0}
1　e1=1+1/1! S1={0,1}
2　e2=1+1/1!+1/2! S2={0,1,2}
　・
　・
m　em=1+1/1!+1/2!・・1/m! Sm={0,1,2・・m}
　・
　・
ω e=eω=1+1/1!+1/2!・・1/m!・・ N=Sω={0,1,2・・m・・}(全ての自然数の集合)

この表で、最後ωの項では、0=1/ω!なので
e=eω=1+1/1!+1/2!・・1/m!・・+1/ω! とも書けて
こちらが分かり易いかも

同様に、無限小数 0.999・・・で
9/10,99/100,999/1000,・・,(1-1/10^m),・・と書けて
qm＝(1-1/10^m)として
qω＝0.999・・・＝lim m→∞ (1-1/10^m)＝1
だが、0=1/10^ωと書けて　qω＝1-1/10^ω＝1
こちらが分かり易いかもね

何が分かり易いかは
人によるだろう（＾＾；
以上

>>325
>つまり lim n→∞ で、nが集積点 ∞ ＝N＝ω に到達したときに、
>e= 2.718281828… なる超越数が得られる

そんな🐎🦌なこといってるから
大学１年の４月に数学で落ちこぼれるんだよ
チミはｗｗｗ

>ここらの微妙な話があって

有理数の切断でも、有理数の基本列（コーシー列）でも実数は定義できる

別に切断点が有理数である必要はないし
基本列が有理数に収束する必要もない

キミはそこが全然分かってない
だから大学１年の４月の実数論で落ちこぼれた

0={}
1={0}
2=(0,1}
･･･

これをいくらつづけてもωには到達しない

ωはすべてのｎの和集合、∪ｎとして定義されるが
無限和なんていきなりとれないから、
・0∈ω
・n∈ωならばn+1∈ω　（注：したがって後続順序数でない！）
なる最小の集合として定義する

で、0からωに至る上昇列は、自然数ｎを用いて
0∈1∈･･･∈n∈ω
となるが、全て有限長であって、無限長にはならない

これ豆な　ここ乗り越えないと現代数学は決して理解できないぞ！

>>326の続き

いいかい、「鉄道」ではωに行けないんだ
だから、「飛行機」で行くんだよ

鉄道：　後続関数
飛行機；無限公理

「ｘ∈ωなら、ｘ＋１∈ω」といいきった瞬間、
鉄道ではいけないと示される
ｘ＋１＝ωとなるｘがないのだからね

0∈1
0∈1∈2
0∈1∈2∈3
･･･

これらの有限列全てに「∈ω」がつけられる、というのが
飛行機路線の開設だ

決して
0∈1∈2∈3∈･･･
という無限列に「∈ω」がつけられる、ということではない！

「ωから始まる∈無限下降列は存在しない」
こんな簡単なことが未だに理解できないのは単に頭が悪いとかそんなレベルじゃなく脳が我々と違うとしか考えられない。
やはりサルなんだろう。

>>329
つづき

（参考）
https://qiita.com/yaju/items/093854baa667a40f9e04
Qiita @yaju
が2021年03月27日に更新
自然対数の底(ネイピア数) e は何に使うのか
ネイピア数とは
ネイピア数 e=2.71828182845904?e=2.71828182845904?(鮒一羽二羽一羽二羽しごく惜しい)
e は自然数の階乗の逆数を合計したものでもあります。どうしてこの式になるかは微分・積分の項目で説明
e=１+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+?

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日開催
超準解析入門 −超実数と無限大の数学− 磯野優介＊

https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
0.999...
超実数
超準解析によって、無限小（およびその逆数）の完全な系列を含んだ数体系が提供される[注釈 5]。
テレンス・タオが超極限 (ultralimit) と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成（英語版）に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は 1 より無限小だけ小さい。
このように解釈した "0.999…" は 1 に「無限に近い」。
イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。
(引用終り)
以上

>>329 訂正 2つ

2.71828182845904?
　↓
2.71828182845904… （>>330も含めて、複数箇所あり)

6．この立場は、下記のテレンスタオの「（超極限で）0.999...は、・・1 より無限小だけ小さい」
　↓
6．この立場は、下記のテレンスタオの「（超極限で）0.999...は、（略）1 より無限小だけ小さい」

分かると思うが（＾＾；

補題「n∈ω ⇒ nは自然数」
証明
ωが自然数以外の元を持つなら、ωの定義
>・0∈ω
>・n∈ωならばn+1∈ω
>なる最小の集合
と矛盾。

命題「ωから始まる∈下降列は有限長」
証明
補題より、ωから始まる∈下降列におけるωの次の項は自然数。
自然数から始まる∈下降列は有限長。
よってωから始まる∈下降列は有限長。

はい、サルの主張が間違いであることを証明しますた。

>>333
パーフェクト！！！

こんな簡単なことも分からないヤツが大阪大学卒？
学歴詐称すんなよｗ　大阪朝鮮高級学校のヤンキー🐎🦌が

ピョンヤンに帰れよｗｗｗｗｗｗｗ

列の長さ：項の個数をその列の項数あるいは長さ (length, size) という
順序数：整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である

「長さ」を定義せずに、何かを証明した気になるサル二匹
あわれ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
列 (数学)
列（sequence）とは、例えば「Ａ，Ｂ，Ｃ」は３つのものからなる列である。狭義にはこの例のように一列に並べるものを列と呼ぶが、広義にはそうでない場合（すなわち半順序に並べる場合）も列という場合がある（例：有向点列）。集合との違いは順番が決まっている事で、順番を変更したものは別の列であるとみなされる。たとえば列「Ａ，Ｂ，Ｃ」と列「Ｂ，Ｃ，Ａ」は異なる列である。

数を並べた列を数列、（何らかの空間上の）点を並べた列を点列、文字を並べた列を文字列（あるいは語）という。このように同種の性質○○を満たすもののみを並べた場合にはその列を「○○列」という言い方をするが、異なる種類のものを並べた列も許容されている。

列の構成要素は、列の要素あるいは項（こう、term）と呼ばれ、例えば「Ａ，Ｂ，Ｃ」には３つの項がある。項の個数をその列の項数あるいは長さ (length, size) という。項数が有限である列を有限列（ゆうげんれつ、finite sequence）と、そうでないものを無限列（むげんれつ、infinite sequence）と呼ぶ。（例えば正の偶数全体の成す列 (2, 4, 6, ...) ）。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数（ordinal number）とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。

順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
(引用終り)
以上

>>330 追加

下記”自然対数の底(ネイピア数) e”の話が面白い（＾＾
https://qiita.com/yaju/items/093854baa667a40f9e04
Qiita @yaju
が2021年03月27日に更新
自然対数の底(ネイピア数) e は何に使うのか
ネイピア数とは

起源
まず、いつ、誰によって作られたのか、という点ですが、これがはっきりしません。
最古の痕跡としては、メソポタミア文明のころにはその存在は知られていたそうです。
しかし、その真の価値については微分が誕生してから再認識されたようです。

ネイピア数に初めて言及したのはイギリスの数学者ウィリアム・オートレッド(1575-1660)です。オートレッドは計算尺を発明した人で、これは対数の原理で機能する道具でした。しかし、オートレッドは実際には名前を付けたりネイピア数の値を計算したりしませんでしたが、最初の自然対数表を書きました。ちなみに乗法の記号である × や、三角関数を sin や cosと表記する方法もオートレッドの考案です。

初めてネイピア数そのものを計算したのはスイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイ(1654-1705)だとされ金利計算の複利を調べて発見しました。

eという文字を初めて使ったのはスイスの数学者レインハルト・オイラー(1707-1783)で、1727年ごろ使い始めたようです。出版物では、1736年の『力学 (Mechanica)』が初出です。

ジョン・ネイピア(John Napier)については以前に記事「ジョン・ネイピアが20年かけた対数表について」を書きました。

つづく

>>335
つづき

https://qiita.com/yaju/items/af46fd43bb790b1a2f3a
qiita.com @yaju が2019年08月10日に更新
ジョン・ネイピアが20年かけた対数表について

対数の研究開始
大航海時代の航海術にはサインやコサインの三角法が必須で、三角法も有効数字が10桁以上もある精密なものが作られていましたが、その計算、特にかけ算と割り算が困難を極めたのです。
1576年にヴィテッヒがネイヒ゜アの友人(ジョン・クレイグ)と出会い、ヴィテッヒから三角法の式を利用して積を和に直す方法(積和の公式)を知り、後にエディンバラに帰郷した際にネイピアに伝えたところ、彼はこの話に刺激されて対数の研究を始めたそうです。

対数の概念
かけ算を足し算に変えることに対する需要が大きいと感じたネイピアは、もっと直接的な方法で、積を和に変えることができると考え、その工夫を始めた。

対数の誕生
2^n の整数指数の表だけでは、あまりにも値がとびとびで実用の計算には適さない。そのため、あらゆる数のかけ算ができるようにネイピアは考えをめぐらせた。

「分数の指数を使うか」、「底として十分小さな数を選び累乗がゆっくり増えていくようにするか」の 2通りの方法がある。

公比を 1 よりわずかに小さくあまりに 1 に近い数のため、かけても数値の変化が 1 以内であるものを考えた。

具体的には、半径が 10^7の円を考え、初項を 10^7とし、公比 r
底 0.9999999 を作って、かけ算をほぼ足し算のみで計算できるようにした。

現代の人が 10^7 って何だろうと思うのですが、一貫した形での小数表現がまだなかった時代で、三角法の表などは、円の半径を1ではなく例えば 10^7 としてそれに対する弦の長さを表示していました(半径を 10^7 に取った場合、表を7桁の精度で書ける)。

対数(logarithm)の名前の由来は、logos (比、神の言葉)とギリシャ語のarithmos (数) を合わせて logarithms(ロガリズム) という造語でネイピアが考案しました。
(引用終り)
以上

”1620年、対数尺（ガンター尺、 Gunter's scale）が作成された。対数尺は、対数の原理を用いた計算尺のはしりである”
か。昔、学習雑誌の付録に計算尺が付いてきたことがあってね
思い出したよ。かけ算や割り算が、計算尺で出来るんだ
当時は不思議だった。懐かしいね・・（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2
ジョン・ネイピア（John Napier, 1550年 - 1617年4月4日）はスコットランドのバロン。数学者、物理学者、天文学者、占星術師としても知られる。

業績
対数
天文学の膨大な計算を簡単に行えるようにした対数について、
ラプラスは、対数は天文学者の寿命を 2 倍にしたと賞賛している。

ネイピアが考えた対数は、現代的な
loga(x)
の形のものではない。

この p のことを ネイピアの対数(Napierian logarithm)という。
ネイピアは 1594年にこの対数の概念に到達し、この定義を用い 20年間計算を続け 7桁の数の対数表を作成し1614年に発表した。

ネイピアの時代には、まだ小数は一般に広まっていなかったため、ネイピアの対数表では、なるべく小数が現れないように工夫されており、 x も p も整数として表されている。
こういった現代の対数との違いは些末なことである。

1620年、エドムント・ガンター（Edmund Gunter, 1581年 - 1626年）によって対数尺（ガンター尺、 Gunter's scale）が作成された。対数尺は、対数の原理を用いた計算尺のはしりである。

ネイピアの骨
ネイピアの骨は様々に改良されるが、特に1623年のウィルヘルム・シッカード（Wilhelm Schickard,1592年 - 1635年）による改良が重要である。
このシッカードの計算機は、世界初の歯車式計算機としても知られ、その後のコンピュータの歴史へ繋がる一歩でもあった。
(引用終り)
以上

>>337
追加

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm
Logarithm

History
Main article: History of logarithms https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_logarithms

The history of logarithms in seventeenth-century Europe is the discovery of a new function that extended the realm of analysis beyond the scope of algebraic methods. The method of logarithms was publicly propounded by John Napier in 1614, in a book titled Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Description of the Wonderful Rule of Logarithms).[22][23] Prior to Napier's invention, there had been other techniques of similar scopes, such as the prosthaphaeresis or the use of tables of progressions, extensively developed by Jost Burgi around 1600.[24][25] Napier coined the term for logarithm in Middle Latin, “logarithmus,” derived from the Greek, literally meaning, “ratio-number,” from logos “proportion, ratio, word” + arithmos “number”.

efore Euler developed his modern conception of complex natural logarithms, Roger Cotes had a nearly equivalent result when he showed in 1714 that[30]
log(cos θ +isin θ )=iθ
(引用終り)
以上

>>334
大阪朝鮮高級学校のヤンキー🐎🦌に無限は無理

あきらめてピョンヤンに帰れｗｗｗｗｗｗｗ

>>335-338
あらあら、大学数学が無理なんで、高校数学の復習ですか？ｗｗｗ

で、朝鮮高校のヤンキー🐎🦌君に自然対数が定義できるのかな？ｗｗｗ

>>334 補足

”列の構成要素は、列の要素あるいは項（こう、term）と呼ばれ、略
項の個数をその列の項数あるいは長さ (length, size) という。
項数が有限である列を有限列（ゆうげんれつ、finite sequence）と、そうでないものを無限列（むげんれつ、infinite sequence）と呼ぶ。（例えば正の偶数全体の成す列 (2, 4, 6, ...) ）。
順序数（ordinal number）とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, ”

いま、自然数を全て並べた数列
0, 1, 2, 3, .........
は、無限列である ∵自然数Nは無限集合

これに順序数ωを加えた数列
0, 1, 2, 3, ............, ω
もまた、無限列である　∵ 数列 0, 1, 2, 3, ......... に一つ増やしたから（やっぱり無限）

降下もなにも関係ない
列の長さは、
単に項数（＝順序数）で決まる（＾＾；

以上

>>341
>いま、自然数を全て並べた数列
>0, 1, 2, 3, .........
>は、無限列である
>∵自然数Nは無限集合

上記の列は、要素と要素の間に＜を挿入できるので　＜上昇列になる
しかし

>これに順序数ωを加えた数列
>0, 1, 2, 3, ............, ω
>もまた、無限列である　
>∵ 数列 0, 1, 2, 3, ......... に一つ増やしたから（やっぱり無限）

上記の列は、要素と要素の間に＜を挿入して、＜上昇列とすることができない

なぜなら　ωのすぐ左の要素が存在しないから
＜を挿入するには、左側、右側の要素が存在しなければならない

＞降下もなにも関係ない

＜こそが重要だ　＜抜きの列など意味がない
そんな初歩的なことが全く理解できないヤツに
大学数学は無理

朝鮮ヤンキーはあきらめて、ピョンヤンに帰れ！！！

順序数は、整列集合であり、全順序でもあります（下記）
順序数ωに、”<”が使えない？ それは、人の数学ではない。おサルの数学です

人の数学では”So in the following sequence:
0, 1, 2, …, ω, ω+1
ω is a limit ordinal because for any smaller ordinal (in this example, a natural number) there is another ordinal (natural number) larger than it, but still less than ω.”

です。おサルには理解できないのでしょうね（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
GA,<(a) = { GA,<(x) | x < a }
と定義したとき、GA,< の値域 ran(GA,<) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。
脚注
2．略

順序数の特徴付け
集合 x について以下はZFで同値である。
・x は順序数である。
・x は推移的集合であり包含関係 ⊂ に関する全順序集合である。
ただし正則性公理を仮定しない場合は必ずしも同値にならないので注意が必要である。

https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Ordinal number

In set theory, an ordinal number, or ordinal, is one generalization of the concept of a natural number that is used to describe a way to arrange a (possibly infinite) collection of objects in order, one after another.

An ordinal number is used to describe the order type of a well-ordered set (though this does not work for a well-ordered proper class). A well-ordered set is a set with a relation < such that:
(Trichotomy) For any elements x and y, exactly one of these statements is true:
・x < y
・y < x
・x = y

Successor and limit ordinals
So in the following sequence:
0, 1, 2, …, ω, ω+1
ω is a limit ordinal because for any smaller ordinal (in this example, a natural number) there is another ordinal (natural number) larger than it, but still less than ω.
(引用終り)
以上

>>343
いやいや、おサルの変態数学をやってるのは
定義を読まずに勝手な妄想してるあなたですよｗ

勝手に０からωまでの順番の羅列をつくって

「間に＜入れりゃ、＜列ができるだろ」

と”全く間違った”考えを妄想しつづけてるから
人でなしのおサルといわれるんですと

ωのすぐ左の項はなんですか？答えられないでしょ？
そりゃそうですよ　存在しないんですからｗ

だからωの左に＜を挿入できない

＜を挿入するんなら、左側はなんでもいいから
自然数ｎで止めなければならない

ほら有限列　無限降下列にならないってのはそういうこと

いいかげんおサルの妄想から抜け出してヒトになろうな

大学１年の４月でつまずいてから何十年経つの
万年１８歳っていわれて嬉しいかい？　ヤンキー君ｗ

>>336 追加
>一貫した形での小数表現がまだなかった時代で

参考追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E6%95%B0
小数の起源
バビロニア数学では六十進法の位取り記数法で数字を記述していた。十進法以外を含めるなら、バビロニア数学での数字表記が最古の小数である。ただし現在で言う小数点に相当するものが存在しないため、記述された数字の実際の数値がどうなのかは、前後の文脈から判断しないといけないという問題点があった。

現代の小数と同じ十進法における小数は、記録に残る所では古代中国が最古である。劉徽は263年に九章算術という数学書の注釈本を著していて、現代のアラビア数字表記での8.660254寸を「八寸六分六釐二秒五忽、五分忽之二」と書いている（小数第6位を表す単位が無いため、分数との併記になっている）。しかしこの時代の分はあくまで計量単位で『（長さの場合は常に）寸の1/10』を表しているのであり、現代的な無名数の小数が成立するのはもっと後の時代になる。

「漢数字#小数」も参照
現代の数学の系譜であるヨーロッパの数学においては、小数の導入は遅れた。これはエジプト式分数表記が普及していたためである。ヨーロッパで初めて小数を提唱したのは、オランダのシモン・ステヴィンである。1585年に出版した「十進分数論」の中で、初めて小数を発表した。その名が示す通り、分数の分母を十の累乗に固定した場合に計算が非常にやりやすくなると主張し、それが小数の発明となった。

なお、ステヴィンの提唱した小数の表記法は、現代の「0.135」であれば、これを「1�@3�A5�B」と表記する。現代のような小数点による表記となったのは、20年ほど後にジョン・ネイピアの提唱による。

https://en.wikipedia.org/wiki/Decimal_representation
Decimal representation

https://en.wikipedia.org/wiki/Decimal
Decimal
History
(引用終り)
以上

>>345
ヤンキー君、小数を復習してるのかい？　感心感心

で、無限小数に最後の桁は存在しない、ってことは理解したかい

それから、カントールの基本列による実数の定義では
0.999･･･=1となることも理解したかい？

>>343 補足
(引用開始)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Ordinal number
An ordinal number is used to describe the order type of a well-ordered set (though this does not work for a well-ordered proper class). A well-ordered set is a set with a relation < such that:
(Trichotomy)
・x < y
・y < x
・x = y
Successor and limit ordinals
So in the following sequence:
0, 1, 2, …, ω, ω+1
ω is a limit ordinal because for any smaller ordinal (in this example, a natural number) there is another ordinal (natural number) larger than it, but still less than ω.
(引用終り)

1．列 0, 1, 2, …, ω, ω+1 は無限長である。
2．カンマ”,”のところに、”<”を入れる（これは定義の通りである）
3．0< 1< 2< …< ω< ω+1
4．何の不思議も支障もない。もともと、
　この列は”well-ordered set is a set with a relation <”
　として定義されているのだから。定義の通りである。何の不思議も支障もない（＾＾

以上

>>347
＞カンマ”,”のところに、”<”を入れる

それ、ダメね

＞（これは定義の通りである）

そんな定義はないよ　捏造はいけないね

ωの左の,は<に置き換えられない　
なぜならその左に項がないから

＞0< 1< 2< …< ω< ω+1

はい、🐎🦌爆誕ｗｗｗ

x＜ωのxが示せない時点で、キミの負けｗｗｗ

さ、ピョンヤンに帰ろうか　チョーセンジン

>>347
>2．カンマ”,”のところに、”<”を入れる（これは定義の通りである）
何の定義だよｗ
チョーセンザルはイカサマばっかだなｗ

>>349
＞何の定義だよｗ
＞チョーセンザルはイカサマばっかだなｗ

な、サルって思考ゼロで
平気で口からデマカセのウソつくだろ？

大学で落ちこぼれるわけだ
実際は大学すら入れないヤンキーだろうけどなｗ

サル二匹か
同じようなところで、躓き落ちこぼれさんになっている

答案二通で同じような間違いがあれば
カンニングが疑われるが、はやり別の二匹のようだが

よくそれだけ
アホ面できるね

サルだからかね？
その内の一匹は、数学科出身というから、おそれいるよｗ（＾＾；

以前に、数学科出身というサルの方が、記号∀と∃を使ったε-δ法を、多分丸暗記だと思うが
記号で書いて、自慢していた

で、多分丸暗記で真の理解に至っていないと思われる
結局、数学科でε-δ法の記号丸暗記に流れてしまって、”無限”の真の理解が疎かになったんだろうね

”無限”の真の理解できていないから
時枝記事(>>255)が、確率の測度論的扱いができない（無限を扱っているので測度論的に正当化できない部分があるのです）

ってことが理解できないんだろうね
そして、無限が真に理解できていないから、いつまでも 0.999・・の議論を飽きずに繰り返せる・・何年もね。サルだものｗ（＾＾；

>>352
参考
下記藤田博司先生の、整列順序、全順序の”<”の使い方を見てください（＾＾；

（ｱﾚﾌ記号が文字化けするので、半角カナにしています。ぜひ原文ご参照）
https://kansaimath.tenasaku.com/?page_id=1259
第8回関西すうがく徒のつどい 2016年3月20日（日）/21日（月・祝）
http://tenasaku.com/academia/notes/kansaimath8-tenapyon-slides.pdf
超限順序数と無限玉入れ勝敗判定
ゼルプスト殿下 @tenapyon （藤田博司）
第 8 回関西すうがく徒のつどい 2016
(抜粋)
発端
今年 2 月に出版された, あるトポロジーの教科書
R の濃度を ｱﾚﾌ1 と書き
連続体濃度と呼ぶ
正解は c または 2^ｱﾚﾌ0

発端 (2)
この間違いは, この本が唯一でも最初でもなく, たぶん最後でもない.
この間違いがよく起こる理由:
濃度 ｱﾚﾌ1 のことがよく理解されていない
(順序数のことがよく理解されていない)

濃度とは (5)
(有限濃度) 有限集合の濃度は要素の個数のことである
(可算無限濃度) N の濃度を ｱﾚﾌ0 と書く
|Z| = |Q| = ｱﾚﾌ0
(連続体濃度) R の濃度は c あるいは 2^ｱﾚﾌ0 と書かれる
|R^2| = |R^3| = ・ ・ ・ = c
|P(N)| = c
(P(X): 集合 X の冪集合)

濃度とは (6)
ｱﾚﾌ1 は定義上はこれらと異なる「ある集合」の濃度であり,
この濃度が c と一致するかどうかは,
通常の集合論において真偽が定まらない.
それでは ｱﾚﾌ1 とは何か. 「ある集合」とは. . .

整列順序 (4)
定義
(X, <) を順序集合とする.
1 < は X 上の狭義の全順序である
2 X = L ∪ R, R≠ Φ かつ (a ∈ L, b ∈ R ⇒ a < b) という状況に
おいては必ず R の最小要素が存在する
という条件をみたすとき < は X 上の整列順序であるといい,
(X, <) をひとつの整列集合という.
(引用終り)
以上

>>351
サル１匹かｗ

つまづいてるのは、お前だよ、オ・マ・エｗ

>>352
なんだ、朝鮮クンは∀と∃も読めないのか？

もういいからピョンヤンに帰れよｗ

>>353
アレフ１は、可算でない最初の順序数、そしてその濃度

これが２＾アレフ０と同じかどうか？というのが連続体仮説問題だが
コーエンが「ZFCでは決定できましぇ〜ん」と示した

いまのところ、集合論でフィールズ賞とったのはコーエンだけだな

アレフ０だろうがアレフ１だろうがアレフｘだろうが、降下列の長さは有限

これ理解できないチョソン君はパクチーだから
数学諦めてピョンヤンに帰れｗｗｗ

チョソンはだいたい文章が読めない

絵だけで理解しようとする

だから細かいところで必ず間違える

数学では微細な違いこそが重要

粗雑な🐎🦌には無理ｗｗｗｗｗｗｗ

小学校の算数のみならず
中学・高校の数学ですら
只の計算訓練だから
文字列処理のアルゴリズムさえ
分かってしまえばサルでもできるｗ

したがって国立大学でも
「計算しかできないサル」
が理工系に大量に入ってきてしまえ
大学１年の４月の数学の講義で挫折する
ヒトとしての思考力がゼロだから当然だが
そういうヤツは退学してほしい
大学にいても無駄ｗｗｗｗｗｗｗ

>>353 追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0
アレフ数
(抜粋)
アレフ・ワン
「最小の非可算順序数」も参照
ｱﾚﾌ1 はすべての可算順序数からなる集合の濃度で、ω1 あるいは（ときに）Ω と呼ばれる。この ω1 はそれ自身順序数でありすべての可算順序数より大きく、したがって不可算集合である。それゆえ、ｱﾚﾌ1 は ｱﾚﾌ0 とは異なる。ｱﾚﾌ1 の定義は、（選択公理のない ZF、ツェルメロ・フレンケル集合論（英語版）において） ｱﾚﾌ0 と ｱﾚﾌ1 の間に基数は存在しないことを意味している。選択公理 (AC) を使えば、さらに次のことが証明できる。基数のクラスは全順序でありしたがって ｱﾚﾌ1 は 2 番目に小さい無限基数である。AC を使って集合 ω1 の最も有用な性質の 1 つを証明できる。ω1 の任意の可算部分集合は ω1 において上界をもつ。（このことは AC の最もよくある応用の 1 つである可算集合の可算和は可算であるという事実から従う。この事実は ｱﾚﾌ0 における状況に類似である。すなわち、自然数からなるすべての有限集合は再び自然数である最大元を持ち、有限集合の有限和は有限である。

ω1 は多少エキゾチックに聞こえるかもしれないが実は有用な概念である。応用例は可算の操作に関して「閉じるようにする」ことである。例えば、部分集合の任意の集まりによって生成されるσ-代数を明示的に記述しようとすること（例えばボレル階層（英語版）を見よ）。これは代数（ベクトル空間や群など）における「生成」のたいていの明示的な記述よりも難しい。なぜならばこれらのケースにおいて有限の操作 - 和、積、などに関して閉じているだけでよいからだ。各可算順序数に対して、超限帰納法を経由して、ありとあらゆる可算和と補集合を「投げ込んで」集合を定義し、ω1 のすべてに渡ってすべてのそれの和集合をとる、ということをその操作（σ-代数の生成）は含む。
(引用終り)
以上

>>352
具体的にお願いしますね
時枝戦略の何が測度論的に正当化できないと？

>>361
＞時枝戦略の何が測度論的に正当化できないと？
論理的思考力ゼロのチョソン君に尋ねたって答えられないだろｗ

そもそも「箱入り無数目の戦略」の確率計算が測度論で正当化できないなら
「あたりっこない」という主張も正当化できない

そんな初歩的なこともわからんチョソン君は
数学やめてピョンヤンに帰ったほうがいいね　マジで

>>359
>したがって国立大学でも
>「計算しかできないサル」
>が理工系に大量に入ってきてしまえ
>大学１年の４月の数学の講義で挫折する
>ヒトとしての思考力がゼロだから当然だが
>そういうヤツは退学してほしい
>大学にいても無駄ｗｗｗｗｗｗｗ
大学にいる理工系の学生を数学科の学生と判断するおサルは感情的発言が多いな （＾＾；

>>363
どうも、スレ主です（＾＾
どなたか知らないが、レスありがとう！

>>364
自作自演（嘲）

>>362
>そもそも「箱入り無数目の戦略」の確率計算が測度論で正当化できないなら
>「あたりっこない」という主張も正当化できない

そんなことはない
本来の確率論では、IID（独立同分布）を使う
箱がIIDだとすれば、
どの箱も、本来の確率論の通り
コイントスなら1/2
サイコロなら1/6
任意の実数なら0（任意の１点の測度は零集合なので0）