>>276
追加参考

http://www.aoni.waseda.jp/sadayosi/index-j.html
小島 定吉（こじまさだよし）
http://www.aoni.waseda.jp/sadayosi/course/past/
最終訂正日 4/26/2018
過去の担当講義
http://www.aoni.waseda.jp/sadayosi/course/past/set09.html
最終訂正日 7/23/09
集合と位相第一
講義担当者
教授 : 小島 定吉
講義ノート
1.1 PDF
1.2 PDF
1.3 PDF
1.4 PDF（← これ）
2.1 PDF

http://www.aoni.waseda.jp/sadayosi/course/past/set09/section1.4.pdf
1.4 整列集合とツォルンの補題 小島 定吉 2009 早稲田

1.4.3 ツォルンの補題

4. 定理 1.10（ツェルメロの整列定理）：X を任意の集合とするとき，その上にある順
序 ≦ を定義して (X, ≦) が整列集合になるようにすることができる．
5. 証明：X の部分集合 A と，その上の整列順序 o の対の全体のなす集合
O = {(A, o) ; A ⊂ X, (A, o) は整列集合 }
(A, o),(B, p) ∈ O に対し，前者が後者の切片であるとき
(A, o) < (B, p)
により順序を定める．任意の全順序部分集合 S ⊂ O に対して
(So, po) = ∪(S,p)∈S(S, p)
とおけば，(So, po) ∈ O かつ (So.po) = sup S となる．したがってツォルンの補題か
らある極大元 (Ao, oo) が存在する．
あとは Ao = X を示せばよい．x ∈ X - Ao に対して
A?o = Ao ∪ {x}, 任意の a ∈ Aoに対し a < x
とすると，(A?o, ?o) は整列集合で (Ao, o) < (A?o, ?o)．これは矛盾．

6. 定理 1.11：整列定理を仮定すると選択公理が成立する．
7. 証明：{Aλ}λ∈Λ を Λ によって添え字付けられた集合族で，すべての λ に対して
Aλ ≠ Φ であるとする．
X =∪λ∈ΛAλ
とおくと，すべて λ に対して Aλ ⊂ X．そこで X に一つ整列順序を指定し，
aλ =min Aλ とおけば，(aλ)λ∈Λ は
?λ∈Λ Aλ の元．
(引用終り)
以上