純粋・応用数学（含むガロア理論）8

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学（含むガロア理論）7
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1618711564/

＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1-
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 54
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617170015/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/

>>506
おっちゃん、どうも
スレ主です

私は、名前の議論には参加しない
第三者に迷惑をかける可能性があるからね

だが、正しいのは私であって
（それは、いま多くの人が認めるところだろうね、サル二匹を除いてね。おっちゃんも、それは分かってきたようだが）

だから、実名が分かっても
なんの痛痒も感じないよ
（おサルは、形勢が不利になると、実名の議論にすり替えようとする。見え見えだけどね。アホざる丸出しでね）

だから、つまらん、実名の議論を持ち出さないように
おサルに同調すると、アホがうつるよ
頼むよ（＾＾

>>519 追加

ついでに書いておくが
サル二匹
形勢が不利になると

ヘイトスピーチを始める
朝鮮および朝鮮人をバカにするヘイトスピーチを始める

人間としてどうなんかね？
いくらサルでも、日本人として恥ずかしいね

数学の議論で勝てないと見て
朝鮮および朝鮮人をバカにするヘイトスピーチを始めるなんて

どうしようもない
サル二匹だね

メモ：21世紀の数学は”hol”（高階論理）ですね（＾＾
（旧ガロアすれにも貼った気がするが）

（参考）
https://staff.fnwi.uva.nl/t.uemura/
Taichi Uemura
Introduction
PhD candidate at Institute for Logic, Language and Computation, University of Amsterdam.
For contact, see my ILLC page.
https://staff.fnwi.uva.nl/t.uemura/files/topos-and-hol.pdf
トポスと高階論理
Taichi Uemura
2018 年 12 月 9 日
この文書は Category Theory Advent Calendar 2018 (https://adventar.org/calendars/3168) の 9 日目の記事です。前
は 7 日目の@mod poppo さんの「アプリカティブ関手ってなに？モノイド圏との関係は？調べてみました！」でした。次は 11 日
目の@yf0fyf さんの「直観主義線型論理の圏論的意味論について」です。

概要
トポスの内部言語とその応用を紹介します。

目次
0 はじめに 1
1 高階論理 2
2 トポス 5
3 高階論理のモデル 6
4 内部言語 8
5 トポスの性質 10
6 おわりに 11
0 はじめに
トポス (topos) とは、有限極限と部分対象分類子と羃対象 (power object) を持つ圏である。簡潔な定義な
がら、トポスは驚くほど豊かな構造が持つことが知られている [MLM92, Joh02a]。
例えば、
・ トポスはデカルト閉である (定理 31);
・ トポスのスライスはまたトポスである (定理 32)。よって、トポスは局所デカルト閉 (locally cartesian
closed) である;
・ トポスは有限余極限を持つ;
・ トポスにおいて同値関係は effective である
などが言える。これらの事実は純粋に圏論的に示すこともできるが、この文書では別のアプローチとして、高
階論理 (higher-order logic) を使った証明を与える。この文書の目的はトポスの圏論的性質を見る前に高階論
理との関連を与え、いくつかの性質を高階論理を使って簡潔に示そうというものである。
(引用終り)
以上

>>503
>そもそも決定番号は無限列に対し定義されたものなのに有限列を持ち出すこと自体ナンセンス

そもそも、可算無限列は、有限列の極限と考えるべきものだろ？
有限列の極限と考えて何が悪い？

というか、有限列の極限と考えて何か悪いこと（矛盾）が出てくれば、
それは真剣に考慮すべきことだろ？ｗ（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数

順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。
(引用終り)
以上

>>520 追加

朝鮮および朝鮮人をバカにするヘイトスピーチを繰り返すサル二匹は
数学板を永久追放で良いんじゃない？

”東アジアは地球上から無くなったほうがいいだろう
おぞましい”（>>513より）

なんて、狂気としか思えない
数学やれる頭じゃないし、ヘイトスピーチを繰り返すのは日本人の恥、数学板の恥だ

>>517
(引用開始)
遺伝子的には、日本人の遺伝子と朝鮮人の遺伝子には共通する部分が多い。
日本史をかじったことがある人はその位のことはすぐ分かる。
(引用終り)

おっちゃん、どうも
スレ主です
全面同意です！

>>401 追加

旧ガロアスレで、確率論の専門家さんが来訪したときの記録を下記に引用する
彼は、二つの指摘をしていった
１）下記の519と522で、「それの証明ってあるかな？ 100個中99個だから99/100としか言ってるようにしか見えないけど」
　「二列で考えると、P(h(Y)>h(Z))=1/2であれば嬉しい．hが可測関数ならばこの主張は正しいが，hが可測かどうか分からないのでこの部分が非自明」
　と指摘している。つまり、時枝記事を成り立たせている一番重要な部分に証明が無いってこと
　ここを補足すると、>>451に書いたように、数列が有限長ならば、同値類は最後の箱ｎのみで殆ど決定されてしまうので、時枝氏の論法は使えない
　では、数列が無限長ならば？ その証明が無いという指摘だ （なお、有限長数列同様に、ダメ（証明できない）だろう（下記２）））

２）次に下記の>>528と>>523で、「hに可測性が保証されないので，d_Xとd_Yの可測性が保証されない そのためd_Xとd_Yがそもそも分布を持たない可能性すらあるのでP(d_X≧d_Y)≧1/2とはいえないだろう」
　と指摘している
　ここを補足すると、「可測性が保証されない」は、ビタリ集合のような非可測ではなく、
　全体（全事象）の積分（和）が無限大になるため
　コルモゴロフの確率の公理、つまり全体に確率1を与えて、
　個別事象に有限確率値を与えるような測度の定義が、不可ってこと（個別事象に確率0を割り当てることはできるのだが）
　>>451に書いたように、決定番号ｄは必ずしもある有限値に収まらないので、
　>>371の非正則分布のようになってしまうってことです（本当は、>>371の非正則分布よりひどいことになるのだが）

2016年に確率論の専門家さんが来訪して、上記の指摘をしていったが
これを消化するのに、私は１年以上かかったな（＾＾；

つづく

>>525
つづき

（参考）
旧ガロアスレ20 （512 2016/07/03 確率論の専門家さん来訪 ID:f9oaWn8A と ID:1JE/S25W ）
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/512-
1）
　519 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 22:27:11.14 ID:f9oaWn8A [4/13]
>>518
X=(X_1,X_2,…)をR値の独立な確率変数とする．
時枝さんのやっていることは
無限列x=(x_1,x_2,…)から定められた方法によって一つの実数f(x)を求める．
無限列x=(x_1,x_2,…）から定められた方法によって一つの自然数g(x)を求める．
P(f(X)=X_{g(X)})=99/100
ということだが，それの証明ってあるかな？
100個中99個だから99/100としか言ってるようにしか見えないけど．
　522 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 22:40:29.88 ID:f9oaWn8A [5/13]
面倒だから二列で考えると
Y=(X_1,X_3,X_5,…）とZ=(X_2,X_4,X_6,…)独立同分布
実数列x=(x_1,x_2,…)から最大番号を与える関数をh(x)とすると
P(h(Y)>h(Z))=1/2であれば嬉しい．
hが可測関数ならばこの主張は正しいが，hが可測かどうか分からないのでこの部分が非自明

２）
　528 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:03:57.29 ID:f9oaWn8A [8/13]
おれが問題視してるのはの可測性
正確にかくために確率空間(Ω,F,P)を設定しよう
Y,Zはそれぞれ(Ω,F)から(R,B(R))の可測関数である．
もしhが(R,B(R))から(N,2^N)への可測関数ならば
h(Y),h(Z)はそれぞれ可測関数となって{ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)}∈FとなりP({ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)})=1/2となるけど
hが(R,B(R))から(N,2^N)への可測関数とは正直思えない
　532 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:15:17.47 ID:f9oaWn8A [11/13]
>>530
> 2個の自然数から1個を選ぶとき、それが唯一の最大元でない確率は1/2以上だ
残念だけどこれが非自明．
hに可測性が保証されないので，d_Xとd_Yの可測性が保証されない
そのためd_Xとd_Yがそもそも分布を持たない可能性すらあるのでP(d_X≧d_Y)≧1/2とはいえないだろう
(引用終り)
以上

>>519
>だが、正しいのは私であって
>（それは、いま多くの人が認めるところだろうね、サル二匹を除いてね。おっちゃんも、それは分かってきたようだが）
多くの人って誰？ｗ

時枝成立派
時枝教授、Hart教授、Pruss博士、Dennis、このスレで少なくとも2名、数学セミナー編集部

時枝不成立派
サル

同値類も分らんサルに時枝が分らんのは当たり前。諦めなさい。

>>526
だからそれは間違いだと何度言えば理解するのか？
サルは理解力が壊滅している。

>P(h(Y)>h(Z))=1/2であれば嬉しい．
時枝記事が全然読めてない。時枝先生はそんなこと一言も言ってない。
正しくは
P(a>b)=1/2（より正確にはh(Y)=h(Z)の場合を考慮して修正が要る）
ここでaとはh(Y),h(Z)のいずれかをランダムに選んだ方、bとは他方。
そしてこの式はランダム（一様分布）の定義から自明に正しい。

ここが時枝戦略のキモなのに誤解している。だから結論を間違う。

このことは過去に何十回も教えてたやったのにサルは一向に理解できない。
サルに数学は無理なので諦めなさい。

何十回も教えてやっても理解できないサル畜生がなぜ数学板に来るのか？
餌でももらえると思ってるのか？　サル畜生はサル山へ帰れ

ランダム（一様分布）の定義から自明に正しいんだから、「可測性が保証されない」なる指摘は完全に間違い。

圧倒的に理解力が欠如しているサル畜生は数学語るな。サル山へ帰れ。

言ったのは確率論の専門家？自分はコピペしただけ？
コピペしたのはおまえだろ、言い訳無用、責任を他者に擦り付けるな。

P(h(Y)>h(Z))と誤解してるから「可測性が保証されない」と思ってしまう。
正しくはP(a>b)だからまったく的外れ。

なぜサル畜生はたったこれだけのことが理解できないのか？
答え　サルは人間様の数学を理解する脳を持っていないから。

>>520
数学とは何の関係も無いｗ
朝鮮人なんてヘイトスピーチどころか反日教育という国家をあげてのヘイト活動を行っている。

>>526

おっと、上記のNo528に下記の訂正が入っていたね
追加しておく
確かに、この方が意味が取れるな

（参考）
旧ガロアスレ20
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/529
　529 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:04:46.18 ID:f9oaWn8A [9/13]
　>>528
自己レス
(R,B(R))ではなくすべて(R^N,B(R^N))だな
(引用終り)
以上

>>521
>メモ：21世紀の数学は”hol”（高階論理）ですね（＾＾
大学一年4月で落ちこぼれた落ちこぼれザルが21世紀の数学を語る滑稽さ

>>522
>そもそも、可算無限列は、有限列の極限と考えるべきものだろ？
無限列の存在を前提にその収束や極限が定義されるのに、順序があべこべｗ
サルは大学数学を１�_も分かってないｗ

>有限列の極限と考えて何が悪い？
>>464から逃げてるから

>>522
>というか、有限列の極限と考えて何か悪いこと（矛盾）が出てくれば、
>それは真剣に考慮すべきことだろ？ｗ（＾＾
決定番号＝∞という矛盾が出たのでどこが間違いか真剣に考えろバカｗ

>決定番号＝∞という矛盾
サルは同値類が理解できないから矛盾であることも理解できないのだろう
サルはサル山へ帰れ

>>534 補足

（参考）
１）mathoverflow
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13

注：
もともとは、質問でDenis氏が、（研究所の）職場の同僚から、
”Probabilities in a riddle”として言われ、種明かしは、”axiom of choice”で非可測を使っているから
まっとうな確率にならないよ”という説明に、「納得できない」と質問したものです。
Denis氏は、計算機系のＤＲで、数学専門ではない。
時枝記事否定派のAlexander Pruss先生とTony Huynhの二人の数学ＤＲが、縷々説明するも、
測度論に詳しくないDenis氏は、「最後まで理解できなかった」（測度論に無知と見た）というのがオチです

２）Sergiu Hart氏 ”Some nice puzzles”（あくまで、puzzleであり、Choice Gamesであります。「まっとうな数学と勘違い」は恥ずかしいよな）
http://www.ma.huji.ac.il/hart/index.html#puzzle
Sergiu Hart
Some nice puzzles:
100 Cards
Choice Games　← これが問題のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.html
（http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf ）
(引用終り)
以上

相変わらずのゴミ屋敷スレ

みんな一緒よ、５ｃｈ数学板
つーか、５ｃｈなんて、便所の落書きだろ？
便所の落書きと、ゴミ屋敷と
それは、全順序で比較できないかもな（どっちが上でどっちが下？ｗ（＾＾； ）

>>539
>種明かしは、”axiom of choice”で非可測を使っているから
だからそれは間違いだと散々説明しただろ。サルに理解できないだけのこと。

>Denis氏は、計算機系のＤＲで、数学専門ではない。
数学Dr.Prussも時枝成立を認めますた。いまだ認められないのはサル一匹。

>>539
>時枝記事否定派のAlexander Pruss先生とTony Huynhの二人の数学ＤＲが、縷々説明するも、
>測度論に詳しくないDenis氏は、「最後まで理解できなかった」（測度論に無知と見た）というのがオチです
サルの妄想には何の根拠もありません。
こちらは妄想ザルと違いエビデンスを示します。
Pruss「we win with probability at least (n-1)/n. That's right.」

サルはサル山へ帰れ

だいたい、無限列の定義に極限を用いようとするアホザルに数学が1�_たりとも理解できようはず無かろう。
無限列の存在を前提にその極限が定義できるのにｗ　アホにも程があるｗ

サルがやってることは数学ではなく妄想。

正しい定義の順序
写像→無限列→無限列の極限

アホザルの順序
無限列の極限→無限列
↑
馬鹿過ぎとしか言い様が無いｗ

>>523
潔癖なだけでは？
潔癖さから、彼(彼女？)の考える“朝鮮人の偏り”だけでなく、“日本人の偏り”もまた、嫌っているという言辞のようですので、現実的に一貫して政治的意図を持っての、特定の民族をヘイトスピーチしていると言うより、現実的では無いかも知れませんが、極めて潔癖な理想主義的な世界観からの心情の吐露なのでは？

数学の国の人らしい無国籍ぶりだと思いますよ
豪放磊落、傍若無人、純粋と言うべきなのかもしれませんね…

具体的な民族名を出した言辞を目にして、気を悪くする人がいるだろう事は残念ですが、偏りが無い余り、人間嫌いに近い心情に至っているのでは？と推測します。
物凄く潔癖な性質をしている人(ちょっと現実的ではないくらい)で、現実社会では、強いストレスを感じやすい方なんじゃないかな？と思いました…

サル畜生の脳は人間のそれと違うのだからどだい無理なんだよ
諦めなさい

人間社会は数学みたいにピュアには見えませんからね
プラグマティックな正しさを第一としたい人達にとっては、不条理と感じたり、理不尽に思う事が多くて傷付いたり、強いストレスを感じて悩みも多いのではないでしょうか

1の原始11乗根らしい

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561837362/10-

>>541
ひろゆきによれば無能にも
使える無能と使えない無能とやる気ある無能
が居る｡
使える無能の害悪性≪使えない無能の害悪性≪やる気ある無能の害悪性
お前はやる気ある無能、つまり最も害悪｡

>>546
そうね・・・他人を殺す自己中が大嫌い

そういう意味では西欧の白い豚どもも、この世から消えてなくなればいい
と心のそこから思う　あいつらは悪魔

>>548
だいたい国家馬鹿、宗教馬鹿がキライ
国家は殺人鬼の集まり　宗教は狂人の戯言

>>525
似非専門家は単に
「箱の中身が確率変数なら、非可測だから確率は計算できない」
と🐎🦌でもわかることを絶叫してるだけ

箱の中身は確率変数ではないから、非可測なんて関係ないし
実に初等的な形で確率は計算できる　反論の余地もない
実際Prussも反論しなかった　当たり前だ　反論したら🐎🦌だｗ

>>521
>21世紀の数学は”hol”（高階論理）ですね

なにをホルホルしてるんだ？
この自己愛チョソンはｗｗｗｗｗｗｗ

決定番号＝∞はありえない

決定番号は当然自然数の値しかありえない

もしそうでないなら、その列は、列が属する同値類の代表元と同値でないことになるｗ
同値類の代表元は、当然同値類のどの元とも同値であるｗ
同値ということは決定番号が自然数の値をとるということであるｗ
もしそれが理解できないなら、そいつは日本語が読めない
チョーセンジン　チューゴクジン　ってことになる
ま、べつにモンゴルジンでもチベットジンでも
インドジンでもアラビアジンでもヨーロッパジンでもかまわんがｗ

>>521

HOL ”METAPHYSICS”だよ〜ん。 HOLは、数学独占じゃない！！（＾＾；
http://tedsider.org/teaching/higher_order_20/higher_order_20.html
SEMINAR ON HIGHER ORDER METAPHYSICS
Rutgers Philosophy Department, 106 Somerset St, 5th floor, Fridays, 9:50-12:50, Spring 2020
Ted Sider, Room 526, office hours TBA and by appointment

Syllabus
Handout: philosophy of logic and second-order logic http://tedsider.org/teaching/higher_order_20/HO_CC_second_order_logic.pdf
Handout: paradoxes and set theory http://tedsider.org/teaching/higher_order_20/HO_crash_course_paradoxes.pdf
Handout: type theory and lambda abstraction http://tedsider.org/teaching/higher_order_20/HO_CC_type_theory_lambda_abstraction.pdf
Handout: Boolos http://tedsider.org/teaching/higher_order_20/HO_Boolos.pdf
Handout: Prior http://tedsider.org/teaching/higher_order_20/HO_Prior.pdf
Handout: Rayo and Yablo http://tedsider.org/teaching/higher_order_20/HO_Rayo_Yablo.pdf

http://tedsider.org/teaching/higher_order_20/higher_order_crash_course.pdf
Crash course on higher-order logic*
Theodore Sider August 14, 2020

Contents
1 Introduction 2
2 Importance of syntax to logic 3
2.1 Syntax in formal languages ..5
3 First- versus second-order logic 7
3.1 Syntax ... 7
3.2 Formal logic and logical consequence ..9
3.3 Semantics ...10
3.4 Proof theory ... 12
3.5 Metalogic ...16
3.5.1 Completeness ..16
3.5.2 Compactness ..17

3.6 Metamathematics ... 20
3.6.1 Skolem’s paradox ..21
3.6.2 Nonstandard models of arithmetic .21
3.6.3 Schematic and nonschematic axiomatizations .23
4 Paradoxes 26
4.1 Abstract mathematics and set-theoretic foundations . 26
4.2 Russell’s paradox ...28
4.3 Axiomatic set theory and ZF .. 30
4.4 Other paradoxes, other solutions ..34

5.1 Third-order logic and beyond ..37
5.2 Higher-order logic and types .. 38
略
以上

>>546
＞潔癖なだけでは？

何を言っているんだ
見る目がないね
潔癖だ？
こいつは、腐った魚以下
ただのサル
けものだよ

>>556 追加

higher-order logic topos で検索すると
高名な 下記のSteve Awodey先生がヒット
Kohei Kishida Who?
” sheaf semantics, models are built on presheaves ”
なるほど、層や圏から、higher-order logicへ繋がっていくのか（＾＾

参考
https://arxiv.org/pdf/1403.0020.pdf
Topos Semantics for Higher-Order Modal Logic March 4, 2014
Steve Awodey? Kohei Kishida† Hans-Christoph Kotzsch‡
†Department of Computer Science, University of Oxford
(抜粋)
Abstract. We define the notion of a model of higher-order modal logic
in an arbitrary elementary topos E. In contrast to the well-known interpretation of (non-modal) higher-order logic, the type of propositions is not interpreted by the subobject classifier ΩE , but rather by a suitable complete Heyting algebra H.
The canonical map relating H and ΩE both serves to interpret equality and provides a modal operator on H in
the form of a comonad. Examples of such structures arise from surjective geometric morphisms f : F → E, where H = f?ΩF .
The logic differs from non-modal higher-order logic in that the principles of functional and propositional extensionality are not longer valid but may be replaced by modalized versions.
The usual Kripke, neighborhood, and sheaf semantics for propositional and first-order modal logic are subsumed by this notion.

In many conventional systems of semantics for quantified modal logic, models are built on presheaves.
Given a set K of “possible worlds”, Kripke’s semantics [11], for
instance, assigns to each world k ∈ K a domain of quantification P(k) - regarded
as the set of possible individuals that “exist” in k - and then ∃x Φ is true at k iff
some a ∈ P(k) satisfies Φ at k.
(引用終り)

>>556-558
チョソン　わかりもしないのにholをホルホルｗ

チョンリマに乗ってどっかへ飛んでけｗ
https://kotobank.jp/word/%E3%83%81%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%AA%E3%83%9E-1563897

そもそも
「ωから0に至る無限降下列が存在する！」（ドヤ顔）
で語って恥ずる色もない🐎🦌のチョソンは
整列順序（というか整礎関係）はもちろん
そもそも論理が全く理解できてないｗ

>>557
＞こいつは、腐った魚以下
＞ただのサル
＞けものだよ

虫ケラ、チョソン　わめきちらすｗｗｗｗｗｗｗ

そもそもωからの降下列は
まず、ω∋ｘとなるｘを示す必要がある

そしてω∋ｘとなるxはすべて自然数である
自然数ｘから０に至る降下列は皆有限長
したがって、ωから0にいたる降下列は有限長

こんな初歩も分からないチョソンが
やれholとかホルホルしても
「なにいってんだ？この大阪朝鮮高級学校卒のヤンキーが」
と🐎🦌にされるだけｗｗｗｗｗｗｗ

ω∋ｘのｘが自然数でないなら、ωの定義「0 を含むあらゆる帰納的集合の共通部分」に反する。
よってωの∈下降列は有限列。

ω以下の順序数すべてが含まれる∈下降列は作れない。ω∋ｘのｘがどんな自然数でもそれより大きい自然数が存在するから。

サルはサル山へ帰れ。

サルは実数Rの全順序が分かっていないアホ
（参考 >>309より）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-12_Ordered.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
第12章 順序集合
■全順序集合 順序集合 (A, ≦) の 2 元 x, y ∈ X は, x ≦ y または y ≦ x を満
たすとき比較可能であるという. もし任意の 2 元が比較可能, つまり,
(iv) 任意の x, y ∈ X は x ≦ y または y ≦ x を満たす
とき, (A, ≦) を全順序集合または線形順序集合という. 条件 (iv) を等号なしの
順序関係 < で述べれば次のようになる.
補 題 12.1 順序集合 (A, <) が全順序集合であるための必要十分条件は, 任意
の x, y ∈ X について,
x < y, x = y, y < x
のいずれか 1 つだけが成り立つことである.

例 12.2 (実数の大小) 実数 x, y ∈ R に対して, 通常の大小 x ≦ y は R 上に
全順序を定める. 実際, ≦ が全順序の条件 (i)–(iv) を満たすことは明らかだろ
う. そうすると, (R, ≦) は全順序集合になる. R の部分集合である Q, Z, N は
(R, ≦) の部分順序集合であり, それ自身が全順序集合である. これらの数の集
合に対しては, 特に断りのない限り, 通常の順序 ≦ を考えるものとする.

http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
第13章 整列集合 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
13.1 整列集合
順序集合 (X, ≦) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
合であるといい, そのような順序を整列順序という. 定義から整列集合は必ず全
順序集合であることに注意しよう. 実際, a, b ∈ X に対して集合 {a, b} は X の
空でない部分集合になるから, それは最小元をもつ. 最小元は a または b であ
るが, それが a であれば a ≦ b となるし, それが b であれば b ≦ a となる.
これは, 任意の a, b ∈ X が比較可能であることを意味し, X は全順序集合である
ことがわかる.

一方, 実数 R, 有理数 Q, 整数 Z は通常の大小関係 ≦ によって全順序集合で
あるが, いずれも整列集合ではない. それらには最小元がないからである. だか
らと言って, 実数や有理数を 0 以上のものに限っても整列集合にはならない. た
とえば, X = [0, +∞) の部分集合 A = (0, +∞) には最小元が存在しない.
(引用終り)

>>564
おまえはいったい誰と会話してるの？
サルはサル山へ帰れ

そうか、サルは反論できなくなって脳内の架空の敵と戦ってるのか
哀れなアホザル

整列順序が理解できず、全順序でのみ語る🐎🦌チョソンｗ

>>566
チョソンはハングクと💩投げ合戦でもしてりゃいいのになｗ

>>567
チョソンが何をいっても当人の勝手だが
いちいち初歩レベルで間違ってるのを見ると
阪大卒が全くの学歴詐称としか思えなくなってくる
やっぱマジで大阪朝鮮高級学校卒じゃね？

「ωから始まる∈下降列は有限列」
への反論が
「実数Rは全順序」？？？
何これ？何の反論にもなってないんだけどｗ
アホザル反論できなくて発狂してるのか？
ここは数学板。発狂サルはお断り。

整礎の無限降下列を誤解して血迷うサル二匹
下記の山崎浩一 「数理構造特論」嫁め

反論？　バカか？ サルが間違っているから、嫁めというだけのことよ（＾＾
まず、定義 6.2.1「極小元を持つ」という性質を満たすとき, 整礎 (well-founded) である」

これを、
頭に叩き込め〜！ｗ（＾＾；

（参考）
http://www.cs.gunma-u.ac.jp/~koichi/index_j.html
山崎浩一のホームページ
群馬大学 大学院理工学府 電子情報部門 教授
下記大学に異動しました：
東京電機大学 理工学部 理学系 数理情報学コース
http://www.cs.gunma-u.ac.jp/~koichi/MS/MS.html
連絡事項
数理構造特論 講義予定 (2018/ 4/10更新)
講義の資料 (Materials)
講義ノート (2018/06/20) (PDFファイル)
http://www.cs.gunma-u.ac.jp/~koichi/MS/%E6%95%B0%E7%90%86%E6%A7%8B%E9%80%A0%E7%89%B9%E8%AB%96.pdf
数理構造特論 山崎浩一 群馬大 October 11, 2018
(抜粋)
6.2. 整礎関係 : 「関係」の世界での帰納法
無限降下列と整礎
・ <R を X 上の二項関係とする. x1 >R x2 >R x3 >R · · · なる無限列を 無限降下列 と呼ぶ.
・ 次の定義は無限降下列と深く関係する

定義 6.2.1. X 上の二項関係 <R が「空で無い任意の (X の) 部分集合 Y に対して, Y は極小
元を持つ」という性質を満たすとき, 整礎 (well-founded) であるという.

・ 整礎を論理式で表わすと以下のようになる. (最後は y = z と成り得るので z not≦ y ではなく z not< y となる).
略
以下は “空でない任意の部分集合 A は最小値を持つ” という自然数の性質を表している.
N は全順序なので, z not< y ならば y ≦ z となる (5.4 章の例 5.4.3 参照).

つづく

>>572
つづき

定理 6.2.1. [cf. 定理 2.47:[21]] X 上の二項関係 <R が整礎であることと, <R が X で無限降下列を持
たないことは同値である.

証明 ある無限降下列 x1 >R x2 >R x3 >R · · · が存在したとする. このとき, Y := {x1, x2, x3, . . .} は
(<R に関して) 最小元を持たない. よって <R は整礎ではない. 逆に <R は整礎ではないと仮定すると, 極
小元を持たず空でないある Y ⊆ X が存在する. 以下を繰り返すことで無限列が作れる.
・ Y は空でないのである元 a1 が存在する.
・ Y からある元 a1 をとると a1 は極小元ではないので, a2 <R a1 なる a2 が存在する.

・ Y からある元 a2 をとると a2 は極小元ではないので, a3 <R a2 なる a3 が存在する.
・ 一般に, Y からある元 ai をとると ai は極小元ではないので, ai+1 <R ai なる ai+1 が存在する.
□
・ 上述の証明のように, ある要素 ai に依存して次の要素 ai+1 を選ぶ操作を無限回繰り返すという証
明を受け入れてよいものかは疑問の余地がある. 実際, “従属選択公理 (axiom of dependent choices (DC))”
と呼ばれる公理を予め仮定することで, このような証明を許すという場面がある. (e.g.(1.1.2):[17], 2.4.7:[13], 2.1 節:[6])
・ (DC)は“選択公理(axiom of choice (AC))”よりも弱いことが知られている. (e.g. Theorem 5.26:[10],
P135:[9])
(引用終り)
以上

>>572
反論じゃないということは
「ωから始まる∈下降列は有限列」
を認めるということか？

何を愚図っているのか、おまえは三歳児か？

>>572
無限降下列が理解できないおサルさんｗｗ（＾＾
「無限降下列とは、< の関係で左側に無限に続く集合 A の要素列である。
つまり、・ ・ ・ < ai < ・ ・ ・ < a1 < a0 のようなものである。」（篠埜）
嫁め

（参考）
http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~sasano/index-j.html
篠埜 功(ささの いさお)
博士(工学) (2002年3月, 東京大学)
芝浦工業大学 工学部 情報工学科 教授
http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~sasano/lecture/lecture.html
講義情報
ソフトウェア構成特論
zoom、木曜2限、大学院 理工学研究科 電気電子情報工学専攻 1年生対象
http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~sasano/lecture/softwareConstruction/21/sc3.pdf
ソフトウェア構成特論 第3回
大学院理工学研究科 電気電子情報工学専攻 篠埜 功
3 整礎帰納法(well-founded induction)

数学的帰納法や構造帰納法は整礎帰納法の特別な場合である。整礎帰納法
は整礎関係 (well-founded relation) が定義されている集合の要素について成り立つ性質を
証明する際に用いる。整礎帰納法を理解すれば必要に応じて様々な帰納法を自分で作り上
げて使うことができる。
定義 1 (整礎関係 (well-founded relation))
集合 A 上の二項関係 < は、無限降下列（infinite descending chain）が存在しない場合、
整礎（well-founded）であるという。
二項関係 < が定義されている集合 A 上の無限降下列とは、< の関係で左側に無限に続く集合 A の要素列である。
つまり、・ ・ ・ < ai < ・ ・ ・ < a1 < a0 のようなものである。
この定義から、整礎関係は irreflexive（非反射的）である。つまり、どの要素 a につい
ても a < a は成立しない。

命題 1 < を集合 A 上の二項関係とする。A の任意の空でない部分集合 Q が極小（minimal）の要素を持つことは関係 < が整礎であるための必要十分条件である。
ここで、集合 A の部分集合 Q の極小の要素とは、
m ∈ Q ∧ {∀b ∈ A. b < m ⇒ b not∈ Q}
を満たすような m である。
証明
まず十分条件であることを示す。
略

定理 1 (整礎帰納法 (well-founded induction)) 略

つづく

>>575
つづき

（追加参考（＾＾； ）
http://www.cs-study.com/koga/set/lemmaOfZorn.html
Zorn の補題と選択公理のお話
by Akihiko Koga
25th Jan. 2020 (Update)

選択公理より弱い命題
従属選択公理(axiom of dependent choice, DC)
集合 X 上の二項関係 R から可算無限個の要素の連鎖 x0 R x1 R x2 ... を作れるという公理．

http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/ZornAC01.png

命題「整礎集合でなければ無限降下列がある」，対偶をとれば， 「無限降下列の無い順序集合は整礎集合である」の証明にはこれが必要．

ZF集合論のもとでは Lowenheim-Skolem の定理と同値らしい．
(引用終り)
以上

>>575
サルが反論できず発狂してます
誰が
>「無限降下列とは、< の関係で左側に無限に続く集合 A の要素列である。
を否定したんだ？レス番号書いてみ？書けないなら数学板から出て行け　発狂ザルお断り

┐(´∀｀)┌ﾔﾚﾔﾚ
チョソンはωから降りる最初のステップでつまづいてすっころんでるなｗ
ω∋ｎ
ｎをどうえらんでも、自然数しかないんだから、その先の降下列は有限長
つまり、ωの降下列は有限長にしかなり得ないんだよ
こんなことは、降下列の定義に基づいて、論理で考えれば、サルでもわかる
逆にわからんってことは、定義も論理もわからん、🐎🦌というか
🐕🐈以下の存在ってことで、🐓だな　三歩歩くと忘れるしｗｗｗ

>>575
>>575
反論？　バカか。サルが勘違いしているだけのこと
下記テキストに書いてあるよ。英語が詳しいけどね。証明も引用した。嫁め（＾＾

つまり、
「可算無限降下列：X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなもの」
だよ。 xn+1 R xn であって、xn R xn+1 ではないよ
まあ、三歳児の知能には難しいかもな

だが、次の「（上方整礎）R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという」
も合わせて読めば、サルでも分かるだろう（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係

定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。
つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。

順序集合論（英語版）では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。
集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。
関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという。

つづく

>>579
つづき

＜英語版＞
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
Well-founded relation
(抜粋)
In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S.

Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
References
[1] "Infinite Sequence Property of Strictly Well-Founded Relation". ProofWiki. Retrieved 10 May 2021.

In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order.

In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.

A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if the converse relation R?1 is well-founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition. In the context of rewriting systems, a Noetherian relation is also called terminating.

つづく

>>580
つづき

＜証明＞
https://proofwiki.org/wiki/Infinite_Sequence_Property_of_Strictly_Well-Founded_Relation
proofwiki
Infinite Sequence Property of Strictly Well-Founded Relation
Contents
1 Theorem
2 Proof
2.1 Reverse Implication
2.2 Forward Implication
3 Axiom of Dependent Choice
4 Sources

Theorem
Let (S,R) be a relational structure.
Then R is a strictly well-founded relation if and only if there is no infinite sequence ?an? of elements of S such that:
∀n∈N:an+1 R an

Proof
Reverse Implication
Suppose R is not a strictly well-founded relation.
So by definition there exists a non-empty subset T of S which has no strictly minimal element.
Let a∈T.

Since a is not strictly minimal in T, we can find b∈T:bRa.
This holds for all a∈T.
Hence the restriction R↑T×T of R to T×T is a right-total endorelation on T.

So, by the Axiom of Dependent Choice, it follows that there is an infinite sequence ?an? in T such that:
∀n∈N:an+1 R an
It follows by the Rule of Transposition that if there is no infinite sequence ?an? of elements of S such that:
∀n∈N:an+1 R an
then R is a strictly well-founded relation.
□

つづく

>>581
つづき

Forward Implication
Let R be a strictly well-founded relation.

Aiming for a contradiction, suppose there exists an infinite sequence ?an? in S such that:
∀n∈N:an+1 R an

Let T={a0,a1,a2,…}.
Let ak∈T be a strictly minimal element of T.

That is:
∀y∈T:y notR ak
But we have that:
ak+1 R ak
So ak is not a strictly minimal element.
It follows by Proof by Contradiction that such an infinite sequence cannot exist.
□

Axiom of Dependent Choice
This theorem depends on the Axiom of Dependent Choice, by way of Infinite Sequence Property of Strictly Well-Founded Relation/Reverse Implication.
Although not as strong as the Axiom of Choice, the Axiom of Dependent Choice is similarly independent of the Zermelo-Fraenkel axioms.
The consensus in conventional mathematics is that it is true and that it should be accepted.

Sources
1996: Winfried Just and Martin Weese: Discovering Modern Set Theory. I: The Basics ... (previous) ... (next): Part 1: Not Entirely Naive Set Theory: Chapter 2: Partial Order Relations: Theorem 2
(引用終り)
以上

まあ、サルには難しわな
三歳児の知能じゃね
お主、数学科出身だって？
よく卒業できたな
無限のこと、なんにも分かってないじゃん
恐るべしFラン

しかし、その勘違いは、気付かないとだめでしょ
上昇列（ or 昇鎖>>579）と、降下列の区別があるって
その区別がないと、無限降下列を禁止したら、無限上昇列も禁止することになるよね
とすると、そんな数学では、無限列が存在できなくなるぞ
（とすると、キメツの無限列車も存在できないよね）
それは、可笑しいよねｗｗ（＾＾；

>>584 訂正

上昇列（ or 昇鎖>>579）と、降下列の区別があるって
　↓
上昇列と、降下列（ or 昇鎖>>579）の区別があるって

かな
　>>579より
「関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R-1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという」
だからね

日本の数学用語は、難しいね
因みに
同じ箇所を英語では（>>579より）
”A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if the converse relation R-1 is well-founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition. In the context of rewriting systems, a Noetherian relation is also called terminating.”
だが、やっぱ英語でも難しいね（＾＾；

>>579-585
┐(´∀｀)┌ﾔﾚﾔﾚ
チョソンはわかりもせずにコピペしてるね　ああミットモナイ

ωの順序を逆転させたら整列順序じゃないよ
０および任意の自然数n={0,…,n-1}は順序を逆転させても整列順序だけどね
ωも同じだとおもってるならチョソンは正真正銘の🐎🦌ヤローだねｗｗｗ

ωで順序を逆転させたら
０＞１＞２＞・・・
となって、いつまでたっても「底」に辿り着かない　つまり、整列集合でない
これ常識　知らん奴は人間じゃないｗｗｗ
チョソンは人間じゃないどころか🐓🐖🐄にも劣る🐛かｗ

>>579
つまりおまえは、誰かが無限下降列と無限上昇列を間違えたと、そう言いたい訳だな？
レス番号書いてみ？
書けないならおまえの妄想だから数学板から出て行けよ？数学板は妄想ザルお断り。

>>588
＞おまえは、誰かが無限下降列と無限上昇列を間違えたと、
＞そう言いたい訳だな？

その「誰か」って、チョソン自身じゃね？ｗｗｗｗｗｗｗ

だいたいチョソンの誤りってそのパターンだよな
正規部分群で「集合として同じ」と読むべきところを
なにをカン違いしたのか「群として同型」と読み違えるとか

どうせ
「無限下降列をひっくり返したら、無限上昇列だろぉ！」
とか、アサハカな思いつきで間違ったんだろｗ

０から１づつ増えてく上昇列には　ωがないんだから
ωからおりる下降列になりようがないだろ

🐎🦌だねぇぇぇぇぇ　朝鮮高級学校卒のヤンキー野郎　チョソンはｗｗｗ

>>558 追加

倉田 令二朗先生
”トポスと高階論理の本質的な同等性をはっきりと示した”
ですと（＾＾
21世紀はHOLの時代です

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/35/1/35_1_50/_article/-char/ja/
トポスの基礎Part I
論理からみたトポス
倉田 令二朗
1983 年 35 巻 1 号 p. 50-69

§0.序論
(1) トポスの登場.トポスはGrothendieck Topos, Lawvereの圏論的集合論と論理の圏論的解
釈の研究1),および伝統的なcHa(complete Heyting algebra)上の直観主義論理の結合としてLaw
vereとTierneyによって生み出された(1970[27]).最初のスロー一ガンは層の理論のinternaliza
tion,すなわちGrothendieck toposの圏論にとっての狸雑な部分2)=集合論的部分をelementary
toposの 有 限 図 式 で書 きか え る こ と で あ った(本 文3.1が そ の は じ ま りで あ る)([10],[ 20],[48]).こ
の方向はinterna1 category論に関するDiaconescu等の精緻な研究([3])を経て徹底して推進され
た([16]2,3,4章)。
(2) トポスによる統合. Lawvereは1975年のシカゴ講演において次のように述べている.`1963
年頃数学の基礎に5つの重要な発展がみられた.すなわち(i) Robinsonのnon standard analysis,
(ii) Cohenに よ る 集合 論 に お け る独 立 性 の証 明, (iii)直 観 主 義 的述 語 論理 に お け るKripke解 釈,
(iv) Lawvereによる集合圏のelementary theory, (v) Grothendieck toposにおけるGiraudの
理論がそれであり,これらは7年後LawvereとTierneyによって統合された"と3).またBoileau
とJoya1は1981年の論文[52]でさらに代数幾何,微分幾何,解析的幾何,代数的位相幾何, coho
mologie, homotopie,ガロアの理論への広がりを指摘している.つまりトポスは数学の新しい統合
の一つのパラダイムのはじまりだというわけである.
(3) トポスの課題.トポスが新しい数学統合の形式だということは,つまりこれまでの数学の体
系において一元的に集合論の占めていた地位のかなりの部分にトポスがとってかわろうということ.
である.しかしそのためには第一に,

つづく

>>590
つづき

(4)高階直観主義論理とトポス.この間の深い関係についてはLawvereによってつとに指摘されていたが,
完全性定理の形式で,しかもトポスと高階論理の本質的な同等性をはっきりと示したのはFourman(1974[6],[7])が最初である.
ここで2つの流派が生じる.われわれが対象とする論理は直観主義論理であり,それが解釈され
るトポスは,

(5)無限論理とGr0thendieck topos. Lawvereの意図したGrothendieck toposの完全なin
ternalizationは不可能であった. Joyal等はLawvereの捨象したGrothendieck toposの集合論
的外延的性質すなわちcompleteな性質を圏論と論理の中核に据える一そのかわリベキを捨象し
た一研究の方向を示した. 2.9はMakkai-Reyes[31]によるその方面の成果の素描である.以下
Grothendieck toposをGr-トポスと略称する.

(6)層の圏. §3の例はいずれも集合論的に定義されるものであるが参考書をあげるにとどめる.
とくにV(H)は竹内外史氏が来日中(1979)にひろめた数々のスローガン, ‘アーベル群(環)の直観
主義化はアーベル群(環)の層である.一変数関数論の直観主義化は多変数関数論である' (5)等を具現
するモデルであり,実例研究のたえざる出発点である([43]) .

(7)PartＩからみたトポス.トポスと高階論理が同値な概念であるとするならばどちらを出発
点にとるかは諸個人の趣味の問題であり,トポスはけっきょく一つのモードにすぎないといえるか
も知れない.けれども論理そのものが新たに圏論的表象を得たという点に新しいパラダイムの特徴
があるのであって,たとえば人はいつでも論理学の研究をsyntaxを経ることなく直接にトポス上
の図式から始めることができる.もっとも今のところトポス自身は‘aは対象である'‘fは射である'
を無定義述語とする言語で基礎づけられねばならぬけれども.
原理的には伝統的な枠の中で証明されえた筈の諸定理,4.一2(1),§5のOsiusの結果等がまずトポ
スにおいて明らかにされた背後には適切で簡潔な表現へと志向するトポスパラダイムが作用してい
たといえよう。

つづく

>>591
つづき

5.2.集合論のモデルの構成

(3)集合論の論理式φに対するKripke-Joya1解釈.

5.3.結論
(1)NNO25)をもつ任意のトポスEに対し,NNO∈UとなるpreuniverseUは上の解釈でZIO(直観主義的Z0)のモデルとなる.
(2)さらにEがwellpoweredのときuniverseUでco11ectionが,さらにEがcompleteのとき separationが成立つ.
(3)EがGr-トポスでUがuniverseのときZFＩのモデルとなる.
(引用終り)
以上

>>590

倉田　令二朗先生の
Part II を検索したが、ヒットせず
書かれなかったかも

代わりに、下記数理研を貼る（但し手書き原稿）
2001年歿か

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/103379/1/0480-7.pdf
Title Grothendieck Toposへの入門試論(数学基礎論)
Author(s) 倉田, 令二朗
Citation 数理解析研究所講究録 (1983), 480: 87-108
Issue Date 1983-02

https://www.nippyo.co.jp/shop/author/2386.html
日本評論社
著者紹介
倉田　令二朗
くらた　れいじろう
プロフィール
1931年香川県丸亀市に生まれる。1954年東京大学理工学部数学科を卒業。その後、東京工業大学大学院、高校教師、日本科学技術研修所電子計算機センター、日本大学文理学部講師、九州大学工学部助手を経て、1964年九州大学工学部助教授。1986年河合文化教育研究所主任研究員。理学博士。
2001年歿。

>>590
＞21世紀はHOLの時代です

19世紀にできた実数の定義も理解できんチョソンは
時代から１００年以上遅れてるなｗｗｗｗｗｗｗ

チョソンが大量コピペ始めたら
メンタルボロボロだとおもっていいｗｗｗ

チョソンのメンタルの頂点
「いい気になって検索結果をコピペしまくってるとき」
チョソンのメンタルの底
「いい気になって書いたことのアラをつっこまれて
　どう返しても自分が負けるしかないとわかったときｗｗｗ」

このとき、突如コピペしまくって無理矢理盛り返すｗｗｗｗｗｗｗ

>>590-593
レス番号示せずまた逃亡。
やはりサルの妄想だった。
妄想ザルは数学板から出て行け。

竹内さんの
『層・圏・トポス』→HOL（高階論理）

人が日常で思考するとき、一階述語論理には縛られない
ですが、多分数学の多くの記述が、一階述語論理なのでしゅう（厳密には知らないが）

そこに。Grothendieck が、Toposを考えた>>590 >>593
高階論理を意識していたかどうか、不明だが？

ともかく、倉田, 令二朗先生によれば、高階直観主義論理と関係しているらしい
一階述語論理よりも、強力です

21世紀は、やはり
HOL（高階論理（層・圏・トポスなど））の時代でしょうかね（＾＾

（参考）
https://m-hiyama.はてなブログ/entry/20090430/1241049766
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2009-04-30
竹内さんの『層・圏・トポス』を読む人達へ
(抜粋)
「読む人達へ」とはいっても一般論ではなくて、ジョニーが『層・圏・トポス』を読む勉強会をするらしいので、このメンバーへ老婆心から二三言っておきたいことです。
(引用終り)
以上

サル二匹
必死の取り繕い
笑えるなｗ（＾＾；

>>599
妄想ザルさん
早くレス番号示してね

>>599
それで ω∋…∋1∋0 が∈有限下降列であることは理解できましたか？
サルだから無理かな？

>>579
>「可算無限降下列：X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなもの」
>だよ。 xn+1 R xn であって、xn R xn+1 ではないよ

＜補足＞
Rが、抽象的な順序 関係なので、分からない人もいるだろうから説明する
まず、R を実数の大小関係 < に限るとする

1)xn R xn+1は、上昇列 （例 1　<　2<　3<・・(番号が増えるほど大きくなる)）
2)xn+1 R xnは、降下列 （例 1/1>1/2>1/3>・・(番号が増えるほど小さくなる))
（注；ここは、有限列で考えても（大して意味がないので）分かりにくい。可算無限列で考えると、（その重要性の）意味が分かる）

そして、順序関係の標準が、（下記）”順序数”です
それから、列の長さは、列の項の数で決まる。有限や可算無限なども、項の数で決まる（順序数で計量する）

結論からいうと、
可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω があったとして、
これが、降下列に変わったりしません
あくまで、上昇列は上昇列
そして列の長さは、あくまで可算無限長であって、決して有限長などにはなりませんｗ（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
GA,<(a) = { GA,<(x) | x < a }
と定義したとき、GA,< の値域 ran(GA,<) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。

順序数の大小関係

順序数の並び方を次のように図示することができる：

0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。

つづき

>>602
つづく

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数

極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。

例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
(引用終り)
以上

>>602 補足
> 1)xn R xn+1は、上昇列 （例 1　<　2<　3<・・(番号が増えるほど大きくなる)）
>可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω があったとして、
>これが、降下列に変わったりしません

ここ
集合の∈に換えて
1∈2∈3∈・・∈ω
としても同じです

これは、あくまで、上昇列です。降下列に変わったりしません
なので、正則性公理で禁じられている無限降下列には、該当しません
また、列の長さの計量は、可算無限長であって、有限長とする必要はありません！（＾＾

>>604
>>可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω
>ここ、集合の∈に換えて
>1∈2∈3∈・・∈ω
>としても同じです

ええ、<だろうが∈だろうが
可算無限長の上昇列
1∈2∈3∈・・∈ω
は存在しません

可算無限長の上昇列
1∈2∈3∈・・
は存在しますが

両者の違い、分かりますかぁ？
お🐎🦌のチョソン君ｗｗｗ

>>604 追加参考

下記なども見ておくと
参考になるだろう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E9%96%A2%E4%BF%82
二項関係
(抜粋)
集合上の関係
集合 X 上の二項関係のいくつか重要なクラスとして、以下のようなものを挙げることができる：

集合的 (set-like)
集合 X の任意の元 x に対して、y?R?x となるような y 全体の成すクラスが集合であるような関係は、集合的（あるいは集合状、集合様）であるという。
（これは真のクラス上の関係を認める場合でないと意味を持たない）
順序数全体の成すクラス上の通常の順序関係 "<" は集合的関係だが、その逆順序 ">" は集合的ではない。

整礎的 (well-founded)
X の任意の空でない部分集合Aが極小元a(Aのどの元xもxRaとならない)を持つときR は整礎的であるという。
自然数上の大小関係"≦"は整礎的である。正則性公理を仮定すると∈は任意の集合上で整礎的である。
(引用終り)
以上

>>607
お🐎🦌のチョソンが何言ってもむだ

>>605-606　>>608で書いた通り

チョソンが
「可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω」
と書いた瞬間、壮烈な自爆死を遂げた

いやぁ、チョソンはいつでも最初の一歩で
見事に地雷踏んで爆死して見せるよな
ここまで清々しい🐎🦌は珍しいわ

さすが大阪朝鮮高級学校卒
ケンカとセックス以外なんもしてないだろｗｗｗｗｗｗｗ

てすと。

よっしゃぁ。書き込めたぞぉ。

底辺数学科乙。

>>612
どうも
すれ主です
どなた知らないが、カキコありがとう
ゆっくり遊んでいってください（＾＾

>>613
軍事機密スレ主です。
匿名でいきます。

>>604 追加

下記、辻下徹 研究室 北大
1999年講義 第4回：＜無限＞の柔軟性(1)：Forcing
自然数の集合ω が良く纏まっているが
コピー規制がかかっていて、コピー貼り付けができない
リンク先を直接見てください

http://ac-net.org/tjst/
辻下徹 研究室 北大
http://ac-net.org/tjst/doc/announce/am99.html
1999年講義 （このページは文字化けがひどいが（＾＾； ）
http://ac-net.org/tjst/doc/lect/am99/1am99.pdf
1 第1回：数学における不定性
http://ac-net.org/tjst/doc/lect/am99/4am99.pdf
4 第4回：＜無限＞の柔軟性(1)：Forcing
目次
4.1 自然数の集合ω
(引用終り)
以上

>>614
どうも
スレ主です
了解です
宜しくお願いいたします。（＾＾

>>615 追加

下記の古賀明彦氏の無限集合ωの説明が分かり易いが
「無限集合は生成できない」は、レーヴェンハイム-スコーレムの定理
”一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない”
”定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない”
を考えると、無限集合が出来ても、一階の理論では証明できないから、無限公理を置くが正しいかも（＾＾

http://www.ivis.co.jp/text/20181017.pdf
（2018年10月21日修正版）
「連続体仮説の解説 AGAIN」
古賀明彦 第434回 わかみず会資料

P28
証明論，モデル理論，レーベンハイム・スコーレムの定理

P38
公理的集合論 ZFC
（１）　集合の種
１．Φが存在する
２．最低でも１つの無限集合ωが存在する
（Φ∈ω & (x∈ω ⇒ x ∪ {x} ∈ω）
{Φ} , {Φ, {Φ}}, ...

P39
公理的集合論 ZFC：集合の種
・ 集合を作っていく道具として，空集合 Φ と１つの無限集合 ω の存在が仮定されている
・ 次に述べる，既存の集合から新しく集合を作る手段が４つ用意されており，Φから任意の（有限の）自然数が生成できるが，無限集合は生成できない
・ そのために最低一つの無限集合としてωの存在が公理で保証されている
・ これが無限集合であるという条件は次のように表されている
Φ∈ω n ∈ω ⇒ n+1 := n∪{n} ∈ ω

つづく

>>617
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム-スコーレムの定理とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している
(引用終り)
以上