サルは実数Rの全順序が分かっていないアホ
（参考 >>309より）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-12_Ordered.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
第12章 順序集合
■全順序集合 順序集合 (A, ≦) の 2 元 x, y ∈ X は, x ≦ y または y ≦ x を満
たすとき比較可能であるという. もし任意の 2 元が比較可能, つまり,
(iv) 任意の x, y ∈ X は x ≦ y または y ≦ x を満たす
とき, (A, ≦) を全順序集合または線形順序集合という. 条件 (iv) を等号なしの
順序関係 < で述べれば次のようになる.
補 題 12.1 順序集合 (A, <) が全順序集合であるための必要十分条件は, 任意
の x, y ∈ X について,
x < y, x = y, y < x
のいずれか 1 つだけが成り立つことである.

例 12.2 (実数の大小) 実数 x, y ∈ R に対して, 通常の大小 x ≦ y は R 上に
全順序を定める. 実際, ≦ が全順序の条件 (i)–(iv) を満たすことは明らかだろ
う. そうすると, (R, ≦) は全順序集合になる. R の部分集合である Q, Z, N は
(R, ≦) の部分順序集合であり, それ自身が全順序集合である. これらの数の集
合に対しては, 特に断りのない限り, 通常の順序 ≦ を考えるものとする.

http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
第13章 整列集合 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
13.1 整列集合
順序集合 (X, ≦) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
合であるといい, そのような順序を整列順序という. 定義から整列集合は必ず全
順序集合であることに注意しよう. 実際, a, b ∈ X に対して集合 {a, b} は X の
空でない部分集合になるから, それは最小元をもつ. 最小元は a または b であ
るが, それが a であれば a ≦ b となるし, それが b であれば b ≦ a となる.
これは, 任意の a, b ∈ X が比較可能であることを意味し, X は全順序集合である
ことがわかる.

一方, 実数 R, 有理数 Q, 整数 Z は通常の大小関係 ≦ によって全順序集合で
あるが, いずれも整列集合ではない. それらには最小元がないからである. だか
らと言って, 実数や有理数を 0 以上のものに限っても整列集合にはならない. た
とえば, X = [0, +∞) の部分集合 A = (0, +∞) には最小元が存在しない.
(引用終り)