>>751 補足
(引用開始)
3．自然数Nは、整列順序で、空でない任意の部分集合が最小元を持つことを思い出そう（>>564）
　で、ω＋1はどうなるか？　自然数Nに、その元よりも大きな元ωを一つ加えただけだよ
　だから、集合ω＋1もまた、整列順序で、任意の部分集合が最小元を持つ（証明は思いつくであろうｗ）
(引用終り)

この証明は、トリビアだが、一言（＾＾
1．（空でない任意の部分集合が最小元を持つ）整列順序集合に、その元よりも大きな元αを一つ追加した集合は、
　新しい集合において、空でない任意の部分集合の最小元の存在に影響を与えない、即ち、最小元は必ず存在することは、ほぼ自明
2．あえて証明すれば、場合分けが分かり易いだろう
　新しい集合の 空でない任意の部分集合を、3つに分ける
　a)元の集合の部分集合、b)元の集合の部分集合に、αを一つ追加した部分集合、c)αのみの集合
3．a)の場合に、最小元の存在は定義の通り。b)の場合にも、最小元の存在は ほぼ定義の通り。c)の場合、αのみの集合は、α自身が最小元です。

QED（＾＾；