ついでに
sup 下記の高校数学の美しい物語では、”supが存在する条件として「 A が空でない」が必要でした。ご指摘いただいた読者の方，ありがとうございます！”とか書いているが
大学数学では、普通に±∞を導入するよ。±∞を導入すれば、supは常に存在すると言えるよね（＾＾

（参考）
https://manabitimes.jp/math/1140
高校数学の美しい物語
sup（上限）とinfの意味，maxとの違い 更新日時 2021/03/07

要素が実数である集合 A に対して
max A：A の最大値，maximum(英語)，マックス(読み方の例)
min A：A の最小値，minimum，ミン
sup A：A の上限，supremum，スープ
inf A：A の下限，infimum，インフ

大学の解析のしょっぱなで学ぶ \supsup の意味について解説します。
min は max の反対側，inf は sup の反対側なので，ここでは max,sup についてのみ解説します。

例2
https://res.cloudinary.com/bend/f_auto,q_auto/shikakutimes/s3/bend-image/1140_0_supinf-300x252.png
開集合 A=(a,b)A=(a,b) に対して，\max AmaxA は存在しない，\sup A=bsupA=b

最大値は存在しませんが，上限は存在します。

max と sup の定義に照らし合わせて確認してみてください！

supはmaxの一般化

supは常に存在する
sup の嬉しさ2： AA が空でなく，上に有界なら supA は常に存在する。

max は存在するとは限りませんが，sup は(空でない場合は)常に存在するので，統一的に議論することができます。 sup の存在証明は解析学の教科書を参照して下さい（例えば高木貞治の解析概論）。

supが存在する条件として「 A が空でない」が必要でした。ご指摘いただいた読者の方，ありがとうございます！
(引用終り)
以上