>>94 追加

渕野先生（＾＾
定理9 ”R 上の順序型が ω1 の整列順序で R2 の部分集合として見たとき”
って、こんなところに「順序型」

（参考）
https://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/nonmeasurable.pdf
非可測集合は存在するのか？
渕野 昌 (Saka´e Fuchino)
00.12.05(火) (21.02.07(日 17:45(JST)) 微少な加筆／修正)

以下のテキストは，北海道大学大学院理学研究科における 2000 年 10 月 10 日の講演のため
のノートに基づくものである．
この文章は集合論の非専門家を読者として想定している．そのため，集合論の特別な知
識は仮定せずに読めるような記述になるよう試みたつもりである．いくつかの結果は証明
なしに引用したが，詳細については，[4] を参照されたい．

集合論版の逆数学と言えるような枠組で考えることで，選択公理を放棄することなく，し
かも，PD （第 3 節後半を参照）を仮定すれば非可測集合の存在しない楽園での解析学を，
決定性の公理の下での解析学やソロベイモデルでの解析学をある意味で内包する形で，展
開できるではないか，というのがその趣旨であるが，このような考えを支持すると考えら
れる射影的集合に関連したいくつかの結果について第 3 節で触れることになる．

P1
1 Vitali 集合

P7
3 射影的集合
第 1 節で見たように，選択公理を仮定した場合，Vitali の定理により非可測集合は存在す
る．しかし，Vitali の定理の証明の非可測集合の構成は，実数上に存在することが選択公
理によって保証された整列順序を用いる，というきわめて非構成的なものであった．それ
ではある意味で構成的とみなせるような実数の集合で非可測なものは存在するのか，とい
う自然な疑問がわいてくる．もし，ある意味で構成的な実数の集合からなる十分に大きな
クラスについてその元がすべて可測である，という主張が成り立つとすると，そのことか
ら，解析学的に自然な集合を扱っている限り非可測集合が現れることはない，ということ
の保証が得られることになる．このために，まず射影的集合 (projective sets) について
復習をしておく．

つづく