【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+1とおいてx^n+y^n=(x+1)^n…(1)とする。
(1)のx,yが有理数となるかを検討する。
(1)を(y^n-1)/n={x^(n-1)+ax^(n-2)+…+x}…(2)と変形する。(y,aは有理数）
(2)をx=c/bとおく。n=b^(n-1)として、b,cを求めると、xは無理数となる。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。