>>133

> (修正24)
> 【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nの解x,y,zは共に自然数とならない。
【証明】x,yは有理数、a,rは実数とする。
> x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
> (1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
> (2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
> (2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
> (4)の解x,y,zは(3)の解x,y,zのa^{1/(n-1)}倍となるので、(3)のみを検討すれば良い。
> (3)はrが無理数なので、成立しない。よって、(4)のrが有理数であっても、成立しない。
> ∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nの解x,y,zは共に自然数とならない。
について。

x､y､zが有理数ならば、(1)も(2)も(4)も、成立しないという証拠がない。

(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
x､y､zが有理数ならば、r^(n-1)=nにはならないので、(1)も(2)も(4)も、(3)とならない。
よって、x､y､zが有理数ならば、(3)は何の関係もない別の式である。
別の式なので、x､y､zが有理数ならば(3)は何の証拠にもならない。

> zが有理数でないならば、r^(n-1)=nとなります。
> 考えるのは、ｙが有理数のとき、xが、有理数となるかどうかです。
> xが、無理数となれば、整数解はないことになります。

xが有理数、yが有理数のx^n+y^n=z^nの解はいくらでもありますよ。
1^2+2^2=(√5)^2
2^2+3^2=(√13)^2
4^2+5^2=(√41)^2
1^3+2^3=(9^(1/3))^3
2^3+3^3=(35^(1/3))^3
3^3+4^3=(91^(1/3))^3

yが有理数で、xが無理数のx^n+y^n=z^nの解も、いくらでもありますよ。
(√5)^2+2^2=3^2
(√12)^2+2^2=4^2
(√21)^2+2^2=5^2
(19^(1/3))^3+2^3=3^3
(56^(1/3))^3+2^3=4^3
(117^(1/3))^3+2^3=5^3

yが有理数の時xが有理数になるかどうかを調べても、なんの役にも立ちません
xが有理数になったとしても、ほかにx,y,zが有理数比になる解がある証拠になりません。
xが有理数にならなかったとしても、ほかにx,y,zが有理数比になる解がない証拠になりません。