>>453
n×n×n 立体行列から実数への写像 f であって、双線形かつ反対称なものを一つとる。

双線形より f は、n×n×nの立体行列 X = (x_ijk)_(i,j,k=1,2,…,n) であって
･n個の成分を除いて全て0
･どの二つの非0成分も同じ行、列、階に属さない
ようなもの全体の像で決まる。
つまり、このようなXのfによる像が0であることを示せば良い。

簡単のためXのn個の非0成分が x_mmm=1 (m=1,2,…,n) のみである場合を考えると、
X' = (n個の非0成分が x'_112, x'_221, x'_333, x'_444, x'_555, … ,x'_nnn = 1 のみである立体行列)
について反対称性から f(X) = -f(X').
X'' = (n個の非0成分が x''_122, x''_211, x''_333, x''_444, x''_555, … ,x''_nnn = 1 のみである立体行列)
について反対称性から f(X') = -f(X'').
X''' = (n個の非0成分が x'''_222, x'''_111, x'''_333, x'''_444, x'''_555, … ,x'''_nnn = 1 のみである立体行列)
について反対称性から f(X'') = -f(X''') が成り立つことがわかる。
ところで X'''=X なので、結局 f(X) = -f(X) = 0 が導かれる。
添字や成分が異なる場合も同様。（終）

結局三回入れ換えをしたら元に戻るってのがポイントなのかしらね