>>56
t=27/100, Γを|z|=1を正の向きに一周する線積分路として
∫[Γ] (t/27)^n(z^3+3/z)dz/z = C[4n,n]t^n
の総和が|t|<27/256においては積分と可換だから
与式左辺
=∫[Γ]1/(1-t/27(z^3+3/z))dz/z
=∫[Γ]z^4/(1-t/27(z^4+3))dz/z
となりこの右辺の留数計算すれば良い
t=27/100の場合分母の根は全て単根でありρをその根のひとつとするとf(w)=1-t/27(t+3)とおいて
res(z=ρ,z^4/(zf(z^4)))
=lim[z→ρ](z-ρ)z^4/(zf(z^4))
=lim[z→ρ](z^4-ρ^4)z^4/(zf(z^4))/(z^3+z^2ρ+zρ^2+ρ^3)
=1/4lim[w→ρ^4](w-ρ^4)/f(w)
である
ここで対象となる積分核の極ρは絶対値が1未満のf(z^4)=0の解であり、すなわちf(w)=0の解の4乗根であり1/3の4乗根である
それらよっつのρにおいて留数は
1/4lim[w→ρ^4](w-ρ^4)/f(w)
=1/4lim[w→ρ^4](w-1/3)/f(w)
=5/12
であるから求める積分値は5/3である