だいぶ正解に近づいてると思います
整理しまず

設定
環準同型φ:S→R×Vが与えられてる
R≠Sなのでr∈R＼Sをとってきてφの拡張ψS[r]→R×Vを作りたい

この設定でよく使われるのは“多項式環のユニバーサリティ”というのを使う方法です
すなわち上の設定で
Sに不定元tを添加した多項式環なら簡単に環準同型を作れる、すなわち

r∈Rを自由に選ぶとき環準同型Φt:S[t]→RをΦ(t)=rとなるように構成できる
r∈Rとx∈Vを自由に選ぶとき環準同型Ψrx:S[t]→R×Vをφの拡張でΨrx(t)=(r,x)となるように取れる

です
この時S[r]は自然にS[t]/kerΦrなので結局問題は

kerΦr⊂kerΨrxとなるようなr,xを見つけることができるか？

となります
そのためには都合の良いr,xを両方見つけることになりますが、まずはrです
もちろんkerΦrがなるべく小さいものを撮るようにすれば後で楽になります
すでに気づかれてる通りrが、S上超越的に取れる時はkerΦr=0なので終了です、xは好きな元を取れます
それが不可能な場合、すなわちR/Sが代数拡大の場合が問題です
その場合なるべくkerΦrを小さく取る方法として最初に思いつくのはrがS上モニック、すなわち最小多項式がモニックになるものを取る場合でこの場合にはkerΦrはモニック最小多項式で生成される単項イデアルになるのでだいぶxの選定が楽になります
それが無理な時、すなわちR/Sの商体が一致していてSが整閉整域の場合は整拡大が取れなくなります
しかしその場合には
任意のr∈R＼Sについて付値vをSの元が全てv進付値でv(r)<0となるようにとれる
という事実を利用すればketΦrが単項イデアルになるrを見つけることができます
とりあえずkerΦrが単項イデアルでないとxの選定がメチャクチャ難しくなります