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つづき

この論説の目標は類体論の一般化を解説することである. 類体論は20世紀前半に高
木貞治と E. Artin により完成された偉業で整数論の礎である. その後, 類体論はふたつ
の方向に一般化された. ひとつは類体論の非ｱｰﾍﾙ化である.これについては, 吉田輝
義氏の明快な解説 (数学ｾﾐﾅｰ 2010年3月号特集･高木貞治と類体論) を参照されたい.
この論説で扱うのは類体論の一般化のもうひとつの方向, 類体論の高次元化および高次
化である. 類体論とは, K を大域体 (つまり有限次代数体あるいは有限体上の一変数関数
体) とするとき , K の最大ｱｰﾍﾙ拡大のｶﾛｱ群を , K に付随した情報のみを用いて
統制する理論である. 類体論の高次元化とはこの理論を , K が高次元の体 (つまり有理数
体あるいは有限体上の高い超越次数を持つ関数体) へと拡張する理論である.これについ
て2段階の発展が起こった. 最初は, 1980年始めのS.Bloch[B1] の革新的な仕事に触発
され加藤‐斎藤 [KS2] が行つた代数的 K 理論を用いた類体論の高次元化である. 次に,今
世紀に入ってﾄｲﾂ人数学者たち(Kerz‐Schmidt‐Wiesend, Schmidt‐Spiess) による高次
元類体論の新しい流れが湧きあがった.これは加藤‐斎藤の高次元類体論の本質的な改良
を与えるものである.さらにこの流れは, ﾓﾁｰﾌ (あるいはﾓﾁﾌｨｯｸｺﾎﾓﾛｼｰ)
の理論の流れと交錯し高次元類体論の高次化という海原へと至っている. 類体論の起源か
らこれまでの流れを概観することをこの記事の目標とする

つづく