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面白い問題おしえて〜な 38問目

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2021/08/23(月) 19:46:20.60ID:t/6KeOXk
(前スレ)
面白い問題おしえて〜な 37問目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1624644393/

過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/

過去スレ
1 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
6 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
7 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
2021/08/30(月) 15:15:55.47ID:fEm+pHBv
>>146
どうでもいいなら何で数学板にいるんだよタコ
さっさと出て行け
こっちだってお前の臨床問題もどきなんか心底どうでもいいわ
2021/08/30(月) 15:29:37.76ID:Uak5j3QT
>>119
なるほど。
母分布がどうであれ、標本分布は正規分布とするわけか。
24個or26個のデータで母数(meanとvar)を推定すれば　>>99

bootstrap の場合もその正規分布
　a-b 〜 pnorm(x, -893/624, 3.24396305)
に従うと考えると
a-b が -2以下である確率は 0.430392
2021/08/30(月) 15:48:12.43ID:gUM37sAw
>>152
変ト長調4回、ニ長調3回、変ロ長調3回
2021/08/30(月) 16:00:41.61ID:2jQvx8Dg
>>155
おしい、それだと半音上で
ト長調(♯×1)4回、変ホ長調(♭×3)3回、ロ長調(♯×5)3回
なので
平均調号数=(1×4+3×3+5×3)÷(4+3+3)=28/10 < 3
になってしまいます
2021/08/30(月) 16:03:42.40ID:gUM37sAw
>>155
逆orz

変ト長調3回、ニ長調4回、変ロ長調4回

0 5 2 3 4 1 6 1 4 3 2 5
_ 4 _ _ _ 3 _ _ _ 4 _ _ = 35 > 33
_ _ 4 _ _ _ 3 _ _ _ 4 _ = 34 > 33
_ _ _ 4 _ _ _ 3 _ _ _ 4 = 35 > 33
2021/08/30(月) 16:06:58.78ID:2jQvx8Dg
>>157
正解です！
おそらく入力ミスだろうなとは思いました
2021/08/30(月) 16:25:04.99ID:ps/NysBP
尿瓶よく読めな

尿瓶によると
「道具があれば使うのが文明人。」
らしいので、マラソンに自動車で参加するのが尿瓶の言うところの文明人ということだろ？
我々が言っているのは、
「ここは数学板だよ、臨床の話したけれ別スレ行ってね」
ということであって、道具を使うなとは一言も言っていない
2021/08/30(月) 18:32:36.57ID:lPciSQKq
fを[0, 1]で連続、(0, 1)で2回微分可能な実数値関数とする。実数の定数r>1に対して
lim_{x→0^+} f(x)/(x^r) = 0
が成り立つとき
lim_{x→0^+} f'(x) = 0
または
limsup_{x→0^+} (x^r)|f''(x)| = ∞
が成り立つことを示せ。
2021/08/30(月) 21:56:36.83ID:IzihBEGH
>>152
理論系の本に載ってるの？
2021/08/30(月) 22:29:49.88ID:lUVlSMXH
>>154
実際にbootstrapをやってみればわかるけど

bootstrap の場合もその正規分布
　a-b 〜 pnorm(x, -893/624, 3.24396305)
には従う
は成り立たない。

ブートストラップ標本（元の標本の同数重複可無作為抽出）の平均値を集めた分布の差の分布の
平均は-893/624,で良いが
標準偏差はもっと小さく
> sd(y$At-y$Bt)
[1] 0.6440682
程度になる。

https://i.imgur.com/jxtuqLm.png

瀕死の統計学を救え！に掲載されているMCMCでの値と近似する。
2021/08/30(月) 22:31:38.37ID:lUVlSMXH
臨床統計が数学の応用であることがわからんアホがいるようだ。
2021/08/30(月) 22:43:40.41ID:lUVlSMXH
>>153
んで、>112の答は出せたの？
これって数字を扱っているから数学の問題だろ？
2021/08/30(月) 23:14:32.26ID:FmLEiBs/
>>150
正解です
この問題の出典
https://www.isibang.ac.in/~sury/ramanujanday.pdf
2021/08/30(月) 23:55:12.69ID:la+8Uk3g
>>161
オリジナルです
2021/08/31(火) 00:17:48.98ID:NLaZymI9
>>164
ここは統計もどきをするスレじゃないから出てけ
2021/08/31(火) 00:23:27.00ID:J+psZKoB
>>160
成り立たんやろ
f(x)=x^1.2sin(x^(-0.2))
はf(0)=0と連続に拡張できてr=1.3に対して
lim_{x→0^+} f(x)/(x^r) = 0
は明らかに成立するけど
f'(x)=-(0.24 cos(1/x^0.2))/x^1. - (0.04 sin(1/x^0.2))/x^1.2 + (0.24 sin(1/x^0.2))/x^0.8
は原点付近で振動しているし、
f''(x)x^1.3=-0.24 x^0.3 cos(1/x^0.2) - 0.04 x^0.1 sin(1/x^0.2) + 0.24 x^0.5 sin(1/x^0.2)
は原点付近で有界

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E1.2sin%28x%5E%28-0.2%29%29%29%27&;lang=ja

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E1.2sin%28x%5E%28-0.2%29%29%29%27%27x%5E1.3&;lang=ja
2021/08/31(火) 01:13:30.10ID:X3n/nWSz
統計のクソ問題は全てツマラン
2021/08/31(火) 01:44:58.34ID:pzrUgChv
>>160 の出典はここのA6だな。
https://kskedlaya.org/putnam-archive/2019.pdf
解答も同じ場所にある。
https://kskedlaya.org/putnam-archive/2019s.pdf
2021/08/31(火) 01:48:10.60ID:J+psZKoB
>>170
え？
なんで？
>>168は明らかに反例になってるやろ？
2021/08/31(火) 01:52:34.61ID:J+psZKoB
と思ったらなってなかったorz
2021/08/31(火) 06:52:15.60ID:k5ZVRW0j
>>169
　その通りです。
　安易に仮定をせずにデータから情報を引き出すことを考えないと…
2021/08/31(火) 07:12:43.15ID:k5ZVRW0j
>>162
標本平均の差 a-b については
　平均　mean(A) - mena(B) = -893/624,
　分散　var(A)/24 + var(B)/26 = 0.219166 + 0.202435 = 0.421601
　標準偏差　0.649308
中心極限定理から
　a-b　〜　pnorm(x, -893/624, 0.649308)
P(a-b<-2) = 0.240087
でした。
bs標本は
24個 (26個) からなる標本を新たな母集合として、再度 24回 (26回) 取り出した標本
とする。平均mean, 分散var は既知で
　E(bs平均) = mean,
　E((bs平均-mean)^2) = var/24 or var/26,
中心極限定理から
　bs平均　〜　pnorm(x, mean, var/24 or var/26)

元の母集合の分布は標本よりかなり広い可能性もありますが…
2021/08/31(火) 08:41:57.10ID:SPgrEjib
尿瓶は医者板に帰ってくれ〜
2021/08/31(火) 08:43:37.19ID:SPgrEjib
なんで帰ってくれないんだ〜
2021/08/31(火) 08:50:14.34ID:b7IuDUoC
>>176
バカだから
2021/08/31(火) 09:07:03.22ID:6/GhrrwF
理性の部分では自分がおかしな事言ってたの理解はしたんやろ
しかしそれでは自分が“負けた”事になる
なので無理を承知でアホレス続けでカオス状態にして“なかった”事にしようとしてるんだよ
思い通りにいかなかったときただひたすらイヤイヤ繰り返すだけの5歳児の精神
完全に人格壊れてるキチガイ
ほっとくしかないやろ
2021/08/31(火) 09:08:37.01ID:pV/cAUPu
統計の問題もういいから他のジャンルないかな
2021/08/31(火) 09:09:06.53ID:k5ZVRW0j
>>168
　f(x) = (x^R)sin(x^{-s})　　　(R>0, s>0)
　　　 = 0　　　　　　　　　　　(x=0)
の場合は
　lim_{x→+0} f(x)/(x^r) = 0,
より R>r>1,
　f '(x) = R x^{R-1} sin(x^{-s}) - s x^{R-1-s} cos(x^{-s}),

・R>1+s のとき　lim_{x→+0} f '(x) = 0,

　f "(x) = (R(R-1)x^{R-2} - ssx^{R-2-2s})sin(x^{-s}) +s(s+1-2R)x^{R-2-s} cos(x^{-s})

　(x^r)f "(x) = (R(R-1)x^{r+R-2} - ssx^{r+R-2-2s})sin(x^{-s}) +s(s+1-2R)x^{r+R-2-s} cos(x^{-s})

・R≦1+s のとき　r+R-2-2s ≦ r-R < 0,

　limsup_{x→+0} (x^r)|f "(x)| = ∞
2021/08/31(火) 10:18:58.82ID:k5ZVRW0j
>>170
The 80th William Lowell Putnam mathematical competition
　　　　　　Saturday, December 7, 2019

〔A6〕　Let g be a real-valued function that is continuous on the closed interval [0,1] and twice differentiable on the open interval (0,1).
　Suppose that for some number r>1,
　　　lim_{x→+0} g(x)/(x^r) = 0.
　Prove that either
　　　lim_{x→+0} g '(x) = 0
　or
　　　limsup_{x→+0} (x^r)|g "(x)| = ∞.
2021/08/31(火) 12:56:06.81ID:aJhUeveX
>>178
んで、>112の答は出せたの？
2021/08/31(火) 12:58:48.15ID:aJhUeveX
>>106
>世界中の誰も答え出せんわ
いや、>96の本は正規分布を仮定してMCMCでの答が出されているのに
>世界中の誰も答え出せんわ とはどういうこと？
2021/08/31(火) 13:35:11.74ID:SPgrEjib
尿瓶は医者板に帰ってくれ〜
2021/08/31(火) 14:25:35.53ID:k5ZVRW0j
>>180
R=5, s=3, r=2 のような場合は
　R-1-s > 0,　r+R-2-2s < 0
が両立するらしい。
2021/08/31(火) 14:38:32.06ID:k5ZVRW0j
〔A1〕
A,B,Cが非負整数を亘るとき
　f(A,B,C) = A^3 + B^3 + C^3 - 3ABC
の値域を決定せよ。


〔A1〕
Determine all possible values of the expression
　　A^3 + B^3 + C^3 - 3ABC
where A,B and C are non-negative integers.

Putnam math. competition 2019
187１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/31(火) 14:52:19.95ID:GsPIvWW/
>>186
引っ掛けか？

「相加・相乗平均の不等式」で、

　f(A,B,C) ≧0 (等号は、A=B=C で成立)
2021/08/31(火) 15:05:27.35ID:zbWN5DWt
>>183
お前はもう引っ込んでろ
2021/08/31(火) 15:06:38.12ID:k5ZVRW0j
f(A,B,C) = (A+B+C)(AA+BB+CC-AB-BC-CA),
f(A,A+b,A+c) = (bb-bc+cc)(3A+b+c),
　f(A,A,A+1) = 3A+1,
　f(A,A+1,A+1) = 3A+2,
　f(A,A+1,A+2) = 9(A+1),
よって X≠3,6　(mod 9) なるすべての非負整数Xを亘る。

一方、
　AA+BB+CC-AB-BC-CA = (A+B+C)^2 - 3(AB+BC+CA) ≡ (A+B+C)^2　(mod 3)
　A+B+C≡0　(mod 3)　　⇒　　f(A,B,C)≡0　(mod 9)
　A+B+C≠0　(mod 3)　　⇒　　f(A,B,C)≠0　(mod 3)

非負条件は要らない？
2021/09/01(水) 14:30:52.94ID:XDTXQT34
>>152
さらに追加問題(オープン)
調を重複して数えたときにも半音以内の移調で必ず平均調号数を3+ε以下に出来るとする
このようなεの下限を求めよ
2021/09/01(水) 17:47:23.45ID:FaZ6kNRL
>>187
題意の A+B+C は非負実数だから　f(A,B,C) ≧ 0,
また、非負実数Xに対しては
　f((X-1)/3, (X-1)/3, (X+2)/3) = X,
　f((X+1)/3, (X+1)/3, (X-2)/3) = X,
　f((X/9 -1, X/9, X/9 +1) = X,
となる実数がある。
けど、チョト違う…
2021/09/01(水) 20:44:13.16ID:WjJqBbvj
太郎君は名前を付けるのが趣味です。
今日も0以上1未満の数にA〜Zの26文字を任意の数だけ使って名前を付けていきます。
さて、太郎君に無限の時間が与えられた場合、
太郎君は0以上1未満の数すべてに名前を付けてあげることができるでしょうか？
2021/09/01(水) 21:10:46.52ID:Jai9j+G/
>>192
名前の全体は加算無限、[0,1)は非可算無限個なので不可能
2021/09/01(水) 23:24:34.57ID:NBNjkxDI
じゃあ文字数を無限にしていいなら？
2021/09/01(水) 23:27:57.28ID:JAiNBFgi
じゃあ確実数にその10進展開を名付ければいい
2021/09/01(水) 23:41:53.58ID:NBNjkxDI
そうは思わんな
2021/09/01(水) 23:54:49.76ID:JAiNBFgi
>>196
まぁ“無限の時間”というのがあくまで“可算無限時間しかダメ”とかならダメだけどな
そこまで言われたら問題文でそこまで読み取れは販促やろ
2021/09/01(水) 23:57:40.11ID:NBNjkxDI
いや、例え非可算無限の時間を与えられても無理でしょ
2021/09/02(木) 00:38:03.09ID:wWKm8aYz
>>198
なんで？
じゃあ何故[0,1)の各実数にその10進展開の名前をつける事は問題文のどのルールに反するん？
2021/09/02(木) 00:41:34.64ID:wWKm8aYz
ああ、わかった
文字数って名前に使っていい文字数は無限でもいいけど各名前は有限長つてこと？
それでも非可算無限個のアルファベット使っていいならやはり可能
アルファベットが高々可算無限個で名前が有限列までなら不可能
2021/09/02(木) 01:53:18.05ID:njqcyrrC
いや、単純に名前をつける作業が終わらないって話よ
非可算無限の時間があっても1つ名付けるのに1秒かかるとすればどんなに頑張っても可算にしかならない
一つ一つ順番に付けていくっていうのがなければ有限時間でも可能
2021/09/02(木) 02:07:06.46ID:BNWchejU
問題がグダグダ過ぎる

名付けを同時にやってはいけないなどとは書いてないし名付けに時間がかかるとも書いてない

時刻tに実数tを名付ければ有限時間で出来るだろ
2021/09/02(木) 02:10:35.72ID:wWKm8aYz
だから名前をつける作業のコス考えないといけないとか後付けで条件つけられて正解出せるわけないやろ
どのみちくだらん一回生レベルの濃度の問題でくだらんけど
2021/09/02(木) 02:41:28.08ID:p7o2ebDu
有理数と無理数のどちらが多いかという話に似ているような気がする。
2021/09/02(木) 02:41:38.62ID:njqcyrrC
いや俺は>>192を読んでそう解釈したのよ
問題文に無限の時間とある以上名付けには時間がかかるものと解釈するのが妥当だし、
順番に名付ける必要がないなら有限時間で可能だから>>192のような書き方はしない
2021/09/02(木) 02:42:41.79ID:p7o2ebDu
>>188
>世界中の誰も答え出せんわ
いや、>96の本は正規分布を仮定してMCMCでの答が出されているのに
>世界中の誰も答え出せんわ
って底抜けのアホだと思うだろ？
2021/09/02(木) 04:41:59.22ID:BNWchejU
>>205
可算桁は1秒で扱えるのに可算個の実数扱うのに無限に時間がかかるのか？
不自然極まりないな
2021/09/02(木) 08:07:22.87ID:NjdJsXGv
>>206
コピペしかできないのかよニセ医者は
2021/09/02(木) 11:31:42.83ID:3i+bMlrx
前>>45
>>80
ドからファは2.5音上がっている。
ファから1オクターブ上のドは3.5音上がっている。
今変調しドをファのシャープに上げたら3音上がっている。
逆にドを1オクターブ下のファのシャープに下げたら3音下がっている。
したがってドを1オクターブ下のファのシャープから3音上のファのシャープまでまんべんなくどこにでも変調することができる。
∴示された。
2021/09/02(木) 12:09:44.68ID:3i+bMlrx
前>>209
>>192
0以上1未満の数に使われている数字は0から9のせいぜい10種類。
一方名前に使うことができる文字はAからZまでの26種類。
ここで答えがわかってしまったからあれだけど、
題意に同名をつけてはならないとの条件はないので、同名をつけてもかまわないのであれば0以上1以下のすべての数に名前をつけることができることは明らかで、問題にならないから、すべて異なる名前をつけることを考えると、
0以上1未満の数の少数部分の数字にたとえば、
0=A,1=B,2=C,3=D,4=E,5=F,6=G,7=H,8=I,9=Jを対応させ、
0.270183648はCHABIDGEIさんというふうに名前をつけることができる。
∴示された。
2021/09/02(木) 12:15:17.15ID:3i+bMlrx
前>>210補足。
0は0.0という数字が存在しないからAさんと名づければよい。
2021/09/02(木) 13:25:03.41ID:dVaBTeJl
無水エタノール（99.5vol%）、
消毒用エタノール（76.9〜81.4vol%）
https://www.kenei-pharm.com/musui-ethanol/column/column01/
であるという。
無水エタノールと蒸留水を混合して
76.9vol%の消毒用エタノール500mLを作成したい。
無水エタノールと蒸留水を各々何mL混合すればよいか。

水とアルコールを混ぜると容積が収縮することが知られている
必要に応じてエタノール換算表
https://www.pmda.go.jp/files/000163417.pdf
を用いて計算せよ。
213１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/09/02(木) 13:54:19.85ID:ySLISlcc
宇宙は50%の確率でこれから何年存在できるか
求めなさい。
2021/09/02(木) 14:38:50.73ID:sRU/v4gP
尿瓶は医者板に帰ってくれ〜
215１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/09/02(木) 16:36:42.87ID:qLwQ8VhM
>>92
＞0以上1未満の数すべてに名前を付けてあげることができるでしょうか？

名前が有限長なら無理（文字数を有限とした場合、名前の全体が可算無限だから）
名前が無限長なら基本的に１０進小数展開を使えばいいけど
名前を１つに限るなら有限小数のところで
例えば0.1000…だけを名前として、0.0999…は名前としない
という操作が必要
2つの名前が現れるのは有限小数の箇所だけに限るので、
そこだけ対処すれば問題ない筈

なお、名づけの所要時間は0とする
2021/09/02(木) 16:56:28.94ID:dVaBTeJl
>世界中の誰も答え出せんわ
いや、>96の本は正規分布を仮定してMCMCでの答が出されているのに
>世界中の誰も答え出せんわ
って底抜けのアホである

に異論のある人はいますかね？
2021/09/02(木) 17:43:30.17ID:wWKm8aYz
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%E2%80%93Bernstein_theorem
2021/09/02(木) 17:49:16.77ID:wWKm8aYz
しかも今回は“一意に名前が付けられるか？”だから
無理数xに対してはxの10進展開に“無”をつけとく、
有理数xに対してはx+√2の10進展開に“有”をつけとく
でアルファベットが”0〜9,.,有、無”からなる名前つけられるしな
Bernsteinもへったくれもない
2021/09/02(木) 18:39:09.66ID:HKeqz9GM
>>216
マラソンに自動車で参加して勝ち誇ってるチンパンはお引き取りください
2021/09/02(木) 19:40:05.33ID:BNWchejU
>>216
余計な仮定をして答え出したって答えとは言わねえよ
2021/09/02(木) 19:42:23.08ID:v9/UfEfq
集合論の基礎を理解してない人が案外多いのが驚き。いや嫌味とかじゃなく純粋にね
2021/09/02(木) 20:29:40.18ID:njqcyrrC
集合論といっても太郎くんが問題文にいるからね
例え非可算無限の時間を与えようと太郎くんが無限個のプロセスを一度に行えない限りは可算無限のプロセスにしかならないってのが重要
2021/09/02(木) 20:47:47.36ID:v9/UfEfq
>>222
それね。非加算無限回名付けるというのも人間には試行不可能だし
2021/09/02(木) 22:03:39.17ID:CDm3aPK5
非可算無限の時間っていうやや特殊な言葉を許すなら
それに伴って必要になりそうな概念の準備とかして欲しいよなあ

自分は位相空間の長い半直線みたいな時間軸を想像してた
連続体仮説を採用するならこの時間軸（の長い側をちょっと伸ばしたもの）の中で操作は完了できる認識だけど
2021/09/02(木) 23:23:13.98ID:3i+bMlrx
前>>211
この付け方なら、チャビッドゲイさんは1人だけだし、
まだまだ使えるのに使ってない文字は倍以上あるぜ？
2021/09/03(金) 02:12:08.84ID:n2LyIx+Z
太郎くんが非可算無限人に分身できる能力者だったら可能やな
2021/09/03(金) 08:48:54.23ID:CoZKBbJf
>>220
コインの表がでる確率を1/2とかいうのも答を出すための余計は仮定といれるぞ。
現実には表と裏とで模様が違うから1/2というのは答を出すための仮定といえる。

>世界中の誰も答え出せんわ
いや、>96の本は正規分布を仮定してMCMCでの答が出されているのに
>世界中の誰も答え出せんわ
って底抜けのアホである

に異論のある人はいますかね？
俺は正規分布を仮定しなくてもブートストラップ法で答が出せる。
正規分布仮定のMCMCと似たような値が得られた。
2021/09/03(金) 08:49:55.71ID:CoZKBbJf
>>220
コインの表がでる確率を1/2とかいうのも答を出すための余計は仮定といえるぞ。
現実には表と裏とで模様が違うから1/2というのは答を出すための仮定といえる。

結論
>世界中の誰も答え出せんわ
って底抜けのアホである

俺は正規分布を仮定しなくてもブートストラップ法で答が出せる。
正規分布仮定のMCMCと似たような値が得られた。
2021/09/03(金) 08:53:23.78ID:O+zSArqm
平面を“8”と同相な部分空間の非交和に分割できるか？
2021/09/03(金) 08:59:55.16ID:O+zSArqm
>>229
追記
ジョルダンの閉曲線定理は既知とする
すなわち

Cを平面Pの円周と同相な部分空間とするときP＼Cはちょうど２つの連結成分を持つ
2021/09/03(金) 09:33:26.17ID:k/lngFMj
こないだのYについての結果から、図形8は高々可算個しか存在できない。
しかし8のルベーグ測度は0であるため、
可算個の8の和集合のルベーグ測度も0となり、
平面全体のルベーグ測度とは一致せず矛盾、みたいな所だろうか
2021/09/03(金) 09:37:53.28ID:O+zSArqm
>>231
Yの奴より遥かに簡単です
2021/09/03(金) 09:57:59.17ID:5hu++xC7
>>228
> コインの表がでる確率を1/2とかいうのも答を出すための余計は仮定といえるぞ。
そうだよ。あたりまえだろ。問題文に何もないのにそんな仮定を入れたものを答えとは言わない。
理解できないゴミなの？

受験数学とかで暗黙の了解とかは知らん。
2021/09/03(金) 11:52:53.35ID:lv+L6Svx
8の場合は2つの輪の中から有理数点を選んでくると可算な対応つけれるって有名な話があるね
235１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/09/03(金) 12:16:13.78ID:/ThJe2/c
前スレにも書いたけど再掲載

閉円板は可算個の閉集合の非交和か？
2021/09/03(金) 13:14:08.24ID:liFru8TY
>>235
[0,1]で不可能を示せば十分
[0,1]=∪[k=1,∞]Fkを可算個の空でない閉集合の非交和とする
必要なF1をF1∪F2と取り替るなどしてF1は非連結として良い
この時単調列aiと広m単調減少列biと単調増大列kiを以下の性質を持つように取れる
・ai<bi
・ai,biはGi=∪[l≦k(i)]Fkの元
・(ai,bj)とGiはdisjoint
実際i=1についてはF1が非連結と仮定しているのでa,∈F1をa<b、(a,b)∩F1=Φととってk(1)=1、a1=a、b1=bとすれば良い
i=i0まで構成できたとする
{ k | Fk∩(ai0,bi0)≠Φ}は無限集合なのでΦでない
そこでの最小元をl、2番目をmとおく
この時a,b∈Fl∪Fmを
・ai0<a<b<b0
・(a,b)∩(Fl∪Fm)
と選べる
そこでa(i0+1)=a、b(i0+1)=b、k(i0+1)=m
とおけば良い
この時lim aiは[0,1]の元であるが全てのFkに含まれないので矛盾
237１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/09/03(金) 14:26:05.51ID:/ThJe2/c
>>236
おー素晴らしい
想定していたのはベールのカテゴリー定理を使うものでしたがこういう解法もあるのか

ちょっとアホで申し訳ないんだけど
＞{ k | Fk∩(ai0,bi0)≠Φ}は無限集合なので
これは何故でしょうか？
2021/09/03(金) 14:31:13.86ID:O+zSArqm
>>237
もちろん(ai0c,bi0)はFkたちで被覆されないといけないけど有限個で被覆されるとコンパクトになってしまう
2021/09/03(金) 14:32:09.56ID:O+zSArqm
まぁでも無限個までいう必要はなく2個有れば十分なのだけど
2021/09/03(金) 14:33:00.37ID:O+zSArqm
>>237
カテゴリー定理使う解答ｶﾓﾝ
241１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/09/03(金) 14:37:15.78ID:/ThJe2/c
>>238
本当に申し訳ない、なぜ(ai0,bi0)がコンパクトになってしまうんでしょうか

例えば(0,1)開区間なんかは(0,1) ⊂ [0,1]で閉集合で有限被覆できるけどコンパクトではないよね
2021/09/03(金) 14:42:35.91ID:O+zSArqm
>>241
ai0,bi0は∪[k≦ki0]Fkの元でとってきているのでk>ki0であるkに対してinf(Fk∩(ai0,bi0)はa0まで届かないしsup(Fk∩(ai0,bi0)はb0まで届かない、届いたら非交和性に反する
243１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/09/03(金) 14:55:34.77ID:/ThJe2/c
>>242
あーなるほどやっと理解できました
つまりF_k∩(ai0,bi0)は閉集合になるってことか
失礼しました
244１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/09/03(金) 14:58:51.63ID:/ThJe2/c
>>240
カテゴリー定理の解法は
まず∪F = [0,1]を仮定して、
S = ∪∂F
という集合を考えます
すると、S = [0,1] \ ∪ int(F)とも書けるので閉集合です

完備空間の閉部分集合なのでS位相空間は完備です
S位相の意味で∂Fは内点を持たないことを示せるのでカテゴリー定理に矛盾します
2021/09/03(金) 15:01:53.30ID:O+zSArqm
>>244
なるほろ
素晴らしい
2021/09/03(金) 15:11:29.00ID:k/lngFMj
>>234
ははあ、なるほど
一つの8に着目した時、それ以外の8が囲む二つの領域は
元の8にとって同じ領域内での話にしかなり得ないと…
だから二つの○から適当に有理点を選んだ時、その組が他と被ることはあり得ないのか
うまいな…
2021/09/03(金) 23:13:49.04ID:O+zSArqm
平面のYたち
補題
平面Pに埋め込まれたYをとり、その腕をI,J,Kとおく
このときYの連結部分空間Y'と有理点を中心、半径が有理数の閉円盤A,B,Cを以下を満たすように取れる
・IとB,C, JとC,A, KとA,Bは互いに素、I∩Y'∩A、J∩Y'∩B,K∩Y'∩Cは一点
∵) I,J,Kの分岐部でない方の端点をi,j,kとする
正の有理数rをd(i,J∪K), d(j,K∪I), d(k,I∪J)より小さくとり,A,B,Cをそれぞれの中心がi,j,kからe/5以内で半径eの円とすると前半の条件は満たされる
I,J,Kが分岐点から見て最初に持つA,B,Cとの共有点より端点よりの部分を切り落としたものをY'とすれば後半が満たされる

補題
平面PのYは疎集合てある
∵)Yの腕をI,J,Kとする
YがPの開集合Uを含むとする
Iの開部分集合U＼(J∪K)が空でなければR^2からRへの単射連続写像が構成できてしまうから不可能である
J,Kについても同様であるからUは空集合でなければならない

定理
K3,3は平面グラフではない
∵)意外に難しいので略
[1]など

定理
平面PをYと同相な部分空間で非交和分割することはできない
∵) P=∪[λ∈Λ]Yλを非交和分割とする
Y'λ、Aλ、Bλ、Cλを補題の条件を満たすようにとる
このとき相異なるα、β、γ∈Λで{Aλ,Bλ,Cλ}が一致することはない
仮に一致したとすると一点Y'λ∩AλとAλの中心を結ぶ線分をI'λとし、Y'λ∩BλとBλ,Y'λ∩CλとCλについてのそれをJ'λ、K'λとすれば∪[λ=α,β,γ]Y'λ∪I'λ∪J'λ∪K'λはPのK3,3に同相な部分空間となり前定理に反する
以上によりΛの濃度は高々可算無限であるから平面Pが可算無限個の疎である閉集合の和となりベールのカテゴリー定理に反する

[1]Wagner, K. (1937), "Uber eine Eigenschaft der ebenen Komplexe", Math. Ann., 114: 570–590, doi:10.1007/BF01594196.
2021/09/04(土) 02:02:47.82ID:eJKXXoHX
素数 p は 3 以上とする。
また、有限体 F_p の元 a, b, c, s, t, u は次を満たすとする：
･ (a, b, c) ≠ (0, 0, 0)
･ s, t, u は全て互いに異なる

関数 f:F_p→F_p であって、任意の x∈F_p について
af(x+s) + bf(x+t) + cf(x+u) = 0
を満たすようなもの全体からなる集合 V = V_p(a,b,c,s,t,u) は、F_p 上のベクトル空間をなす。

各 p に対し、V_p の次元として可能な値を全て求めよ
2021/09/04(土) 03:27:53.07ID:+E6Ewd2b
勘て2
2021/09/04(土) 10:51:04.25ID:zOT7lSRJ
>>233
答が出せるように仮定を設定している。

偏差値７５の人は上位何％の成績優秀者か？
という問題は正規分布を仮定して計算する。

>世界中の誰も答え出せんわ
いや、>96の本は正規分布を仮定してMCMCでの答が出されているのに
>世界中の誰も答え出せんわ
って底抜けのアホだという結論は変わらんね。
2021/09/04(土) 11:14:37.64ID:a75rGD/g
じゃあなんでその断りを入れないんだよタコ
2021/09/04(土) 11:21:03.11ID:nuRE92Fl
面白い問題がほしいよね
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