お題　転調記号の数

(注)長文イヤな人は最後の“問題”以降読めばお題はわかる
一応どんな話の流れから来たのかから解説

ある楽譜の中に出てくる調号数をその出現する回数に応じて荷重平均をとったものを平均調号数と呼ぶとする
例えばト長調50%、ヘ長調30%、変ロ長調20%ならそれぞれの調号の数は♯１個、♭１個、♭２個なので平均調号数は
0.5×1+0.3×1+0.2×2=1.2
である
なるべく元のキーを変えず平均調合数を減らす事を考える
そこでキーの変更は上へ半音あげるか下へ半音下げるかまでとする
先程の例であれば
半音上げは変イ長調50%、変ト長調30%、ロ長調20%で平均調号数は
0.5×4+0.3×6+0.2×4=4.6
半音下げは変ト長調50%、ホ長調30%、イ長調20%で平均調号数は
0.5×6+0.3×4+0.2×3=4.8
なので原曲が最も平均調号数は少なくて済む
そこでこの原曲、半音の上げ下げの３つの中の最小値が最大になるのは原曲の中の調がどのような割合の時か決定せよ
ただし、使用する調は12長調のみとし異名同音調は調号数の少ない方を採用する(例えば嬰ハ(♯×7)は変ニ(♭×5)とする)

現代は数学板の
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629715580/80
面白い問題おしえて〜な 38問目
と
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629715580/190
面白い問題おしえて〜な 38問目

このままだと音楽知らない人にはポカーンなので結局問題は

問題
12成分のベクトル
a=[ 5,2,3,4,1,6,1,4,3,2,5,0 ] // 半音上げた調号数
b=[ 0,5,2,3,4,1,6,1,4,3,2,5 ] // 原曲の調号数
c=[ 5,0,5,2,3,4,1,6,1,4,3,2 ] // 半音下げた調号数
をとる
12成分の実ベクトルxに対して
f(x) = min{ a・x, b・x、c・x } (・は内積)
と定める
xが領域
x[i]≧0, Σ_[i:1〜12] x[i]=1
を動く時f(x)の最小値を求めよ