>>692
ますます分からん
>>688の記述では像がコンパクトな空間以外何にも言わずに“収束部分列が取れる”と言ってる
そんなわけない
例えばアスコリアルツィラの定理の証明なら

・元空間が可算稠密集合を持つ
・関数族が同程度連続性
・像の空間がコンパクト

ここまで仮定して収束部分列を作る
具体的には

・(xi)を稠密可算集合にとる
・f0i=fiとしその部分列f1iをf1i(x1)が収束するように取る
・f1iの部分列f2iをf2i(x2i)が収束するように取る
・f2iの部分列f3iをf3i(x3i)が収束するように取る
‥
最後にgi = fiiとおけばgiは全ての(xi)上で収束する
(ここまでは像の空間がコンパクトだけでいい)
さらにこの時元のfiが同程度連続であるなら全てのxで収束する
で各点収束部分列が取れる

この手の問題は像になってる空間がコンパクトだけではほとんどなんの役にも立たない
+α元の関数列になんか条件入ってないとまず無理
以前同じような問題で長さが最小になるやつで別の人と議論した事あったけど(そのときはオレが取れる派)その時は“一次元”だったので元の関数列を“等速ゲージ”にゲージを取り替えれば元の関数列が全体の長さが減っていくという仮定の元に同程度連続性が保証されてうまくいった
その子は普段二次元以上の同じような極小値問題を考えてる人で「一次元だとコレでできるのか」と言ってたけど、2次元になるとまるで話が変わってくる
単に“面積が小さくなっていく関数列”だけでそんなうまいゲージ取り替えができるわけは多分ない
今回の問題ではうまく回避できる可能性はあるけど、あってもとても自明なものがあるとは思えない
そもそも「像はコンパクトな領域に収まってるとして良い」から２、３行後にいきなり「収束部分列が取れる」とか平気で書ける人間の証明信用できん