【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^p+y^p=z^pを、x^p+y^p=(y+1)^p…(1)とおく。x,yは有理数とする。
(1)を(x-1)(x^(p-1)+x^(p-2)+…+1)/p=y(y^(p-2)+…+1)…(2)とおく。
x=2n+1とおく。
(2)はn=1のとき、2{3^(p-1)+…+1)}/p≠2(2^(p-2)+…+1)となる。
(2)はn=2のとき、4{5^(p-1)+…+1)}/p≠4(4^(p-2)+…+1)となる。
(2)はn=3のとき、6{7^(p-1)+…+1)}/p≠6(6^(p-2)+…+1)となる。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。