【定理】p=7のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^7+y^7=z^7を、x^7+y^7=(y+m)^7…(1)とおく。(x,y,mは整数)
(1)をx^7+y^7=(y+1)^7…(2)とおいて、有理数解を求める。
(2)を(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=7(y^6+3y^5+5y^4+5y^3+3y+y)…(3)と変形する。
A=(x-1)、B=(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)、C=7、D=(y^6+3y^5+5y^4+5y^3+3y+y)とおく。
AB=CDならば、A=Cのと、B=Dとなる。
A=Cのとすると、(x-1)=7となるので、x=8となる。
(3)のBにx=8を代入すると、Bは奇数となる。Dは偶数となる。
(3)はx=8のとき、整数解を持たないので、有理数解を持たない。
∴p=7のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。