【定理】p=5のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^5+y^5=z^5を、x^5+y^5=(y+m)^5…(1)とおく。(x,y,mは有理数)
(1)をx^5+y^5=(y+1)^5…(2)とおいて、有理数解を求める。
(2)を(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=5(y^4+2y^3+2y^2+y)…(3)と変形する。
A=(x-1)、B=(x^4+x^3+x^2+x+1)、C=5、D=(y^4+2y^3+2y^2+y)とおく。
AB=CDならば、A=Cのとき、B=Dとなる。
A=Cとすると、(x-1)=5となるので、x=6となる。
Bの末項以外の項数はp-1個となるので、Bは奇数となる。
Dの項数はp-1個となるのでDは偶数となる
(3)はx=6のときに、整数解を持たないので、有理数解を持たない。
∴p=5のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない