【定理】p=3のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、x^3+y^3=(y+m)^3…(1)とおく。(x,y,mは整数)
(1)をx^3+y^3=(y+1)^3…(2)とおいて、有理数解を求める。
(2)を(x-1)(x^2+x+1)=3(y^2+y)…(3)と変形する。
A=(x-1)、B=(x^2+x+1)、C=3、D=(y^2+y)とおく。
AB=CDならば、A=Cのとき、B=Dとなる。
A=Cとすると、(x-1)=3となるので、x=4となる。
Bの項数はp個、末項は１となるので、Bは奇数となる。
Dの項数はp-1個となるので、Dは偶数となる。
(3)はx=4のとき、整数解を持たないので、有理数を持たない。
∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。