日高と申します。よろしければ、ご指摘いただけないでしょうか。

【定理】p=3のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、x^3+y^3=(y+m)^3…(1)とおく。(x,y,mは整数)
(1)をx^3+y^3=(y+1)^3…(2)とおいて、有理数解を求める。
(2)を(x-1)(x^2+x+1)=3(y^2+y)…(3)と変形する。
A=(x-1)、B=(x^2+x+1)、C=3、D=(y^2+y)とおく。
AB=CDならば、A=Cのとき、B=Dとなる。
A=Cのとき、(x-1)=3となるので、x=4とする必要がある。
x=4、yを偶数とすると、(2)の右辺は奇数となるので、成立しない。
x=4、yを奇数とすると、(2)の右辺は偶数となるので、成立しない。
∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。