【定理】n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、x^3+y^3=(x+1)^3…(1)とおく。(x,yは有理数)
(1)を(x^3-1)/3=x^2+x…(2)と変形する。
x=b/a,y=d/cとおく。(a,b,c,dは整数)
(2)は{(d/c)^3-1}/3=(b^2+√3b)/(√3)^2…(3)となる。
(3)は√3={(d/c)^3+b^2-1}/b…(4)となる。
(4)の左辺は無理数、右辺は有理数となる。
よって、(4)(3)(2)(1)成立しない。
∴n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。