>>607
>それが分かれば、aが超越数のとき任意の正整数nに対して
>1,a,a^2,...,a^n　はQ上、或いはQ~上一次独立である理由も分かる。
君と話していると眠くなって来るが、
1,a,a^2,...,a^n　がQ上一次独立なのは超越数の定義からの帰結w
1,a,a^2,...,a^n　がQ~上一次独立なのはマジメに確かめなくても
Q~ が代数的数全体の集合であることから感覚的に分かる
そんなことより、a、a_1、a_2、…、a_n (n∈N＼{0}) が有理数のとき
関数方程式 a^x＝a_n・x^n+a_{n-1}・x^{n-1}+…+a_2・x+a_1 の実数解xが存在すると仮定したとき
xはどんな代数的性質を持つかとかを考えた方が数学的にはずっと面白い
存在性を仮定した実数解xが代数的無理数とはならないことは、
ゲルフォント・シュナイダーの定理から直ちに分かる
実数解xが有理整数でない有理数のときは、a^x は無理数で、
a_n・x^n+a_{n-1}・x^{n-1}+…+a_2・x+a_1 は有理数になって等号が成り立たない
だから、存在性を仮定した先の方程式の実数解xの代数的性質は有理整数か超越数のどちらかになる
数理論理に詳しい人の方が分かるだろうが、計算不可能な実数の超越数もあって、計算可能な実数全体は体をなす
計算不可能な実数の超越数全体は体をなさず、そのルベーグ測度は実数体のルベーグ測度と同じ+∞になる
代数ばっかりやっていては、先の方程式の存在性を認めた実数解xの代数的な性質のような問題は扱えないだろう