>>119
（引用開始）
ω＝∪ｎ　と定義するのが一番簡単
その場合、当然ωは可算無限集合
ついでにいうと、最初の非可算順序数も
ω１＝∪ω_countable　（ω_countable　は可算順序数）
と定義するのが一番簡単
その場合、当然ω１は非可算無限集合
(引用終り)

ちょっとスレチだが、少しだけ
1．前半のωには、無限公理が要るよね（下記ペアノの公理）。多分、後半もか？
2．無限公理について調べると、いまのZFCの無限公理は、最初にツェルメロが1908年に発表したものと変わっているみたい
3．1908年のは、シングルトンの可算無限を許すようだね（下記独語版（1907とあるけど？ｗ）と英語版ご参照）

どや！！ｗｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。 まず、後者関数を定義する; 任意の集合 a に対してその後者を suc(a) := a ∪ {a} と定義する。 集合 A が後者関数に関して閉じているとき、つまり 「a が A の元であるならば suc(a) も A の元である」が成り立つときに、 A は帰納的集合であるという。 ここで、次のように定義する。
0:=Φ ={ }
N := 0 を含むあらゆる帰納的集合の共通部分
suc := 後者関数のNへの制限
この集合 N を自然数全体の集合といい、これは時々（特に順序数に関する文脈で）ギリシャ文字の ω と表記される。
無限集合の公理は 0 を含む帰納的集合の存在を主張しているので、ここでの N の定義に問題はない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
無限公理　空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A(Φ∈A ∧ ∀x∈A(x∪{x}∈A))
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
無限公理（むげんこうり、英: axiom of infinity）とは公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理の一つで、「無限集合の存在」を主張するものである。エルンスト・ツェルメロによって1908年に初めて提示された。

つづく