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つづき

（独語版）
https://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Mengenlehre
Zermelo-Mengenlehre
Zermelos Axiome 1907
VII. Axiom des Unendlichen:
Der Bereich enthalt mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element enthalt und so beschaffen ist, dass jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht.
Das Axiom des Unendlichen fordert eine induktive Menge (abgeschlossen bezuglich der Zahlung a+1 = {a}). Im Anschluss daran gab Zermelo die erste prazise explizite Definition der naturlichen Zahlen als kleinste Menge Z, die das Axiom des Unendlichen erfullt. Mit dieser Definition sind alle Peano-Axiome beweisbar und das Beweisprinzip der vollstandigen Induktion.

Modifizierte ZF-Systeme
・Seine im Axiom der Unendlichkeit steckende Zahlung mit n + 1：= {n} wird meist durch seine spatere Zahlung n + 1：= n ∪ {n} aus der Mengenlehre von 1930 ersetzt.

（google訳）
ツェルメロ集合論
VII。無限公理：
この領域には、少なくとも1つのセットZが含まれます。これは、要素としてゼロセットを含み、その要素aのそれぞれが{a}形式の別の要素に対応するようなものです。
無限公理には、誘導集合が必要です（カウントa + 1 = { a }に関して閉じられています）。続いて、Zermeloは、無限公理を満たす最小の集合Zとして、自然数の最初の正確な明示的定義を与えました。この定義により、すべてのペアノの公理は証明可能であり、完全帰納法の証明原理です。
変更されたZFシステム
・無限公理における彼の数え方 n + 1：= {n}、主に後のカウントによる n + 1：= n ∪ {n} 1930年の集合論から置き換えられました。

つづく