■補題3
　Aを極大元を持たない順序集合とすれば
　φ:A→Aで、任意のx∈Aについて
　φ(x)>xとなるものが存在する

（証明）
　Aの全ての空でない部分集合からなる集合系をMとする
　選出公理によって、Mで定義された写像Φで
　Mの全ての元mに対しΦ(m)∈mとなるものが存在する
　Aは極大元を持たないと仮定されているから
　x∈Aに対して{y|y∈A,y>x}=m_xとおけば、
　どのx∈Aに対してもm_x≠{},すなわちm_x∈M
　そこで、任意のx∈Aに対し
　　φ(x)=Φ(m_x)
　としてφ:A→Aを定義すれば、
　φ(x)∈m_xであるから、φ(x)>xとなる