>>842
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数学的帰納法（英: mathematical induction）
同値な定式化
集合論の枠組みでは、数学的帰納法の原理を次のように表すことができる。
自然数 N の部分集合 A が空でないとき、A に属する最小の自然数が存在する。
この原理からもともとの形の数学的帰納法が導かれることは，次のようにして示せる。
帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。
自然数の部分集合 A を A = { n ∈ N : ¬ P(n) } によって定める。
この A が空集合であるということを示したい。
そうでないと仮定すると、Aに属する最小の自然数 a を取ることができるが、
P(0)は成り立っていることから a は0でない。
従って、ある自然数 b について a = b + 1となっているが、
a は A に属する最小の自然数であったということから、
b not∈ A であり、P(b) は成り立つことになる。
帰納法の仮定から P(a) も成り立つことになり、これは矛盾である。
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上記の証明は>>663と基本的に同じだけど、理解してる？

>>663は
「数学的帰納法を認めるならば
　Aに属する最小の自然数が存在しないとき、
　・0はAに属さない
　・n未満の自然数がAに属さないならnもAに属さない
　と数学的帰納法の前提を満たすからAは空である」
といっている
上記は
「最小値原理を認めるならば
　Aが空でないときＡは最小値を持つが
　0がAに属するなら、数学的帰納法の仮定1を満たさないし
　0がAに属さないなら、Aに属する自然数の最小値aに対して
　a=b+1となる自然数bが存在して、bはAに属さないので
　bがAに属さないのにb+1はAに属することになり
　数学的帰納法の仮定2を満たさない」
といっている
いわゆる対偶の関係

>ここで、A = { n ∈ N : ¬ P(n) } は、(P(n)について)数学的帰納法(の前提)が成立しない集合で
これ誤解ね、実際は
「帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。」
と書いてあるように全く逆

>最小値原理から、「A が空集合である」が導かれるよ（上記の通り）
正しくは「Aの定義中のP(n)が数学的帰納法の前提を満たすなら空集合となる」