>>875
(引用開始)
で、選択公理を使ってるのは
「降鎖条件を満たすなら、極小元をもつこと」
その逆の
「極小元をもつなら、降査条件を満たす」（降査→降鎖に修正）
の証明には使ってない　
>>654の当該箇所はこれだけ
「集合Aについて、a_n∈Aとなる無限長の降鎖(a_n)n∈Nがあったら、
　集合{a_n}n∈Nは最小元を持たないから、Aは整列集合でない」
ここ分かってる？
(引用終り)

あれれｗ、654は下記
(>>654より
「降鎖条件を満たすことと、整礎であること、
　つまり任意の空でない部分集合が極小元をもつことは同値である。
　これは極小条件 (minimal condition) とも呼ばれる。」
の証明でもしようか

まず、集合Aについて、a_n∈Aとなる無限長の降鎖(a_n)n∈Nがあったら、
集合{a_n}n∈Nは最小元を持たないから、Aは整列集合でない

そして、もし集合Aが整列集合でないなら、
Aの空でない部分集合Mで最小元を持たないものが存在する
このとき、任意のa∈MについてM_a={x∈M|x<a}と定義すると
M_aはみな空集合でないから、選択公理により、MからMへの写像φで、
任意のa∈Mに対してφ(a)∈M_aとなるものが存在する
そこで、Mの元a_1をとってきて、
φ(a_1)=a_2,φ(a_2)=a_3,…,φ(a_n-1)=a_n,…
とすれば、(an)n∈Nは無限長の降鎖となる
Q.E.D.
(引用終り)

つづく